Segitiga sama sisi

Dalam geometri, segitiga sama sisi adalah segitiga yang ketiga sisinya sama panjang. Dalam geometri euklides, segitiga sama sisi juga merupakan equiangular; yaitu, semua tiga sudut internal juga kongruen satu sama lain dan masing-masing 60°. Mereka poligon reguler, dan karena itu dapat juga disebut sebagai segitiga regular.

Sifat pokok

Jika panjang sisi segitiga sama sisi dinyatakan dengan a, dengan menggunakan teorema Pythagoras kita dapat menentukan bahwa:

• Luas area adalah ${\displaystyle A={\frac {\sqrt {3}}{4}}a^{2}}$
• Keliling adalah ${\displaystyle p=3a\,\!}$
• Jari-jari lingkaran luar adalah ${\displaystyle R={\frac {a}{\sqrt {3}}}}$
• Jari-jari lingkaran dalam adalah ${\displaystyle r={\frac {\sqrt {3}}{6}}a}$ atau ${\displaystyle r={\frac {R}{2}}}$
• Pusat geometris segitiga adalah pusat lingkaran dalam dan lingkaran luar
• Dan altitude (ketinggian) dari setiap sisi ${\displaystyle h={\frac {\sqrt {3}}{2}}a}$.

Dengan menyatakan jari-jari lingkaran luar sebagai R, dengan menggunakan trigonometri kita dapat menentukan bahwa:

• Luas segitiga tersebut adalah ${\displaystyle \mathrm {A} ={\frac {3{\sqrt {3}}}{4}}R^{2}}$

Beberapa persamaan ini memiliki hubungan sederhana dengan altitude ("h") dari setiap sudut pada sisi berlawanan:

• Luas area ${\displaystyle A={\frac {h^{2}}{\sqrt {3}}}}$
• Ketinggian dari pusat dari setiap sisi, atau apothem, ${\displaystyle {\frac {h}{3}}}$
• Jari-jari lingkaran luar dari tiga simpul adalah ${\displaystyle R={\frac {2h}{3}}}$
• Jari-jari lingkaran dalam adalah ${\displaystyle r={\frac {h}{3}}}$

Dalam sebuah segitiga sama sisi, ketinggian, bisectors sudut, tegak lurus bisectors dan median untuk setiap sisi bertepatan.

Karakteristik

Segitiga ABC yang memiliki sisi-sisi a, b, c, semiperimeter s, daerah T, exradii r_a, r_b, r_c (tangen untuk a, b, c masing-masing), dan dimana R dan r masing-masing adalah jari-jari lingkaran luar dan lingkaran dalam, disebut segitiga sama sisi jika dan hanya jika salah satu dari sembilan pernyataan berikut ini adalah benar. Dengan demikian berikut ini adalah sifat yang unik untuk segitiga sama sisi.

Sisi

• ${\displaystyle \displaystyle a=b=c}$
• ${\displaystyle \displaystyle a^{2}+b^{2}+c^{2}=ab+bc+ca}$^[1]
• ${\displaystyle \displaystyle abc=(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)\quad {\text{(Lehmus)}}}$^[2]
• ${\displaystyle \displaystyle (a+b+c)\!\left({\frac {1}{a}}+{\frac {1}{b}}+{\frac {1}{c}}\right)=9}$^[3]
• ${\displaystyle \displaystyle {\frac {1}{a}}+{\frac {1}{b}}+{\frac {1}{c}}={\frac {\sqrt {25Rr-2r^{2}}}{4Rr}}}$^[4]

Semiperimeter

• ${\displaystyle \displaystyle s=2R+(3{\sqrt {3}}-4)r\quad {\text{(Blundon)}}}$^[5]
• ${\displaystyle \displaystyle s^{2}=3r^{2}+12Rr}$^[6]
• ${\displaystyle \displaystyle s^{2}=3{\sqrt {3}}T}$^[7]
• ${\displaystyle \displaystyle s=3{\sqrt {3}}r}$
• ${\displaystyle \displaystyle s={\frac {3{\sqrt {3}}}{2}}R}$

Sudut

• ${\displaystyle \displaystyle A=B=C=60^{\circ }}$
• ${\displaystyle \displaystyle \cos {A}+\cos {B}+\cos {C}={\frac {3}{2}}}$
• ${\displaystyle \displaystyle \sin {\frac {A}{2}}\sin {\frac {B}{2}}\sin {\frac {C}{2}}={\frac {1}{8}}}$^[2]

Luas Area

• ${\displaystyle \displaystyle A={\frac {a^{2}+b^{2}+c^{2}}{4{\sqrt {3}}}}\quad }$ (Weitzenböck) ^[8]
• ${\displaystyle \displaystyle A={\frac {\sqrt {3}}{4}}(abc)^{^{\frac {2}{3}}}}$^[7]

Circumradius, inradius dan exradii

• ${\displaystyle \displaystyle R=2r\quad {\text{(Chapple-Euler)}}}$^[1]
• ${\displaystyle \displaystyle 9R^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}}$^[1]
• ${\displaystyle \displaystyle r={\frac {r_{a}+r_{b}+r_{c}}{9}}}$^[2]
• ${\displaystyle \displaystyle r_{a}=r_{b}=r_{c}}$

Cevians yang sama

Tiga jenis cevians yang sama untuk (dan hanya untuk) segitiga sama sisi:^[9]

• Tiga ketinggian yang memiliki panjang yang sama.
• Tiga median memiliki panjang yang sama.
• Tiga sudut bisectors memiliki panjang yang sama.

Pusat segitiga yang bertepatan

Setiap pusat segitiga dari sebuah segitiga sama sisi bertepatan dengan centroid, yang menyiratkan bahwa segitiga sama sisi adalah satu-satunya segitiga dengan tidak memiliki garis euler yang menghubungkan beberapa pusat. Untuk beberapa pasangan pusat segitiga, fakta bahwa mereka bertepatan cukup untuk memastikan bahwa segitiga adalah sama sisi. Secara khusus:

• Sebuah segitiga disebut sama sisi jika ada dua circumcenter, incenter, centroid, atau orthocenter bertepatan.^[10]:p.37
• Sebuah segitiga adalah juga segitiga sama sisi jika circumcenter bertepatan dengan titik Nagel, atau jika incenter bertepatan dengan sembilan titik pusat.^[1]

Enam segitiga yang dibentuk oleh partisi dengan median

Untuk setiap segitiga, tiga median membagi segitiga menjadi enam segitiga yang lebih kecil.

• Sebuah segitiga disebut sama sisi jika dan hanya jika setiap tiga segitiga yang lebih kecil memiliki batas yang sama atau inradius yang sama.^{[11]:Theorem 1}
• Sebuah segitiga disebut sama sisi jika dan hanya jika circumcenters dari setiap tiga segitiga yang lebih kecil memiliki jarak yang sama dari centroid.^{:Corollary 7}

Titik pada bidang

• Sebuah segitiga disebut sama sisi jika dan hanya jika, untuk setiap titik P pada bidang, dengan jarak p, q, dan r dari sisi segitiga dan jarak x, y, dan z dari sudut simpul,^{:p.178,#235.4}

${\displaystyle 4(p^{2}+q^{2}+r^{2})\geq x^{2}+y^{2}+z^{2}.}$

Teorema penting

Teorema Morley trisector menyatakan bahwa, dalam setiap segitiga, tiga titik persimpangan yang berdekatan sudut trisectors membentuk segitiga sama sisi.

Teorema Napoleon menyatakan bahwa, jika segitiga sama sisi dibangun di setiap sisi segitiga, baik ke luar atau ke dalam, masing-masing pusat dari tiga segitiga sama sisi tersebut membentuk sebuah segitiga sama sisi.

Versi isoperimetric inequality untuk segitiga menyatakan bahwa segitiga yang paling luas di antara yang ada dengan suatu perimeter adalah segitiga sama sisi.

Teorema Viviani menyatakan bahwa, untuk setiap titik interior P pada sebuah segitiga sama sisi dengan jarak d, e, dan f dari sisi dan ketinggian h,

${\displaystyle d+e+f=h,}$

independen dari lokasi P.^[12]

Teorema Pompeiu menyatakan bahwa, jika P adalah sebuah titik di dalam segitiga sama sisi ABC, maka ada sebuah segitiga dengan sisi panjang PA, PB dan PC. Artinya, PA, PB, PC memenuhi pertidaksamaan segitiga bahwa jumlah dua dari sisinya harus lebih besar dari sisi ketiga.

Sifat-sifat lainnya

Berdasarkan pertidaksamaan Euler, segitiga sama sisi memiliki rasio terkecil R/r dari circumradius ke inradius dari setiap segitiga: khusus, R/r = 2.^[13]:p.198

Segitiga dengan luas area terbesar dari semua yang dapat dibuat dalam sebuah lingkaran adalah segitiga sama sisi, dan segitiga dengan luas area terkecil dengan lingkaran di dalamnya adalah segitiga sama sisi.^[14]

Rasio luas dari incircle dengan luas area sebuah segitiga sama sisi, ${\displaystyle {\frac {\pi }{3{\sqrt {3}}}}}$ adalah lebih besar dari non-segitiga sama sisi.^{[15]:Theorem 4.1}

Rasio luas area segitiga sama sisi dengan kuadrat keliling, ${\displaystyle {\frac {1}{12{\sqrt {3}}}},}$ adalah lebih besar dari segitiga bukan sama sisi.^[16]

Jika sebuah segmen membagi sebuah segitiga sama sisi menjadi dua wilayah dengan keliling yang sama, dan dengan area A₁ dan A₂, maka^{[17]:p.151,#J26}

${\displaystyle {\frac {7}{9}}\leq {\frac {A_{1}}{A_{2}}}\leq {\frac {9}{7}}.}$

Jika sebuah segitiga ditempatkan di bidang kompleks dengan sudut kompleks z₁, z₂, dan z₃, maka baik untuk non-real cube root ${\displaystyle \omega }$ 1 sebuah segitiga sama sisi jika dan hanya jika^{[18]:Lemma 2}

${\displaystyle z_{1}+\omega z_{2}+\omega ^{2}z_{3}=0.}$

Dengan suatu titik P dalam interior sebuah segitiga sama sisi, rasio jumlah jarak dari simpul dengan jumlah jarak dari sisi lebih besar dari atau sama dengan 2, kesetaraan terjadi ketika P adalah centroid. Tidak ada titik di segitiga lain dimana rasio ini adalah sekecil 2.^[19] Ini adalah ketidaksetaraan Erdos–Mordell; bentuk lebih kuat dari itu adalah ketidaksetaraan Barrow, yang menggantikan jarak tegak lurus ke sisi dengan jarak dari P ke titik di mana sudut bisectors dari ∠APB, ∠BPC, dan ∠CPA yang berhadapan dengan sisi (A, B, dan C menjadi simpul).

Untuk setiap titik P pada bidang, dengan jarak p, q, dan t dari masing-masing simpul-simpul A, B, dan C,^[20]

${\displaystyle \displaystyle 3(p^{4}+q^{4}+t^{4}+a^{4})=(p^{2}+q^{2}+t^{2}+a^{2})^{2}.}$

Untuk setiap titik P pada lingkaran dalam dari sebuah segitiga sama sisi, dengan jarak p, q, dan t dari simpul-simpul,

${\displaystyle \displaystyle 4(p^{2}+q^{2}+t^{2})=5a^{2}}$

dan

${\displaystyle \displaystyle 16(p^{4}+q^{4}+t^{4})=11a^{4}.}$

Untuk setiap titik P pada busur minor BC dari circumcircle, dengan jarak p, q, dan t dari masing-masing A, B, dan C,^:170

${\displaystyle \displaystyle p=q+t}$

dan

${\displaystyle \displaystyle q^{2}+qt+t^{2}=a^{2};}$

selain itu, jika titik D pada sisi BC membagi PA ke segmen PD dan DA dengan DA memiliki panjang z dan PD memiliki panjang y, maka^:172

${\displaystyle z={\frac {t^{2}+tq+q^{2}}{t+q}},}$

yang juga sama dengan ${\displaystyle {\tfrac {t^{3}-q^{3}}{t^{2}-q^{2}}}}$ jika t ≠ q; dan

${\displaystyle {\frac {1}{q}}+{\frac {1}{t}}={\frac {1}{y}},}$

yang merupakan persamaan optik.

Ada banyak pertidaksamaan segitiga yang menjadi kesetaraan jika dan hanya jika sebuah segitiga adalah sama sisi.

Sebuah segitiga sama sisi adalah segitiga yang paling simetris, memiliki 3 garis refleksi dan rotasi simetri dengan order 3 dari pusatnya. Simetri grupnya adalah grup dihedral order 6 D₃.

Segitiga sama sisi adalah satu-satunya segitiga yang Steiner inellipsenya adalah lingkaran (secara khusus, itu adalah incircle).

Segitiga sama sisi banyak ditemukan di berbagai konstruksi geometri. Persimpangan lingkaran dengan pusat radius lebar terpisah adalah sepasang busur lengkung sama sisi, yang masing-masing dapat membentuk sebuah segitiga sama sisi. Segitiga sama sisi membentuk bidang seragam dan teratur polyhedra. Tiga dari lima padatan Platonis terdiri dari segitiga sama sisi. Secara khusus, tetrahedron memiliki empat segitiga sama sisi untuk bidangnya dan dapat dianggap sebagai bentuk analog tiga dimensi. Bidang dapat diubin menggunakan segitiga sama sisi menghasilkan pengubinan segitiga.

Konstruksi geometris

Sebuah segitiga sama sisi dapat dengan mudah dibangun menggunakan jangka dan garis lurus, sebagaimana 3 adalah Fermat prime. Buat garis lurus, dan tempatkan ujung jangka pada salah satu ujung garis, kemudian ayunkan busur dari titik itu ke titik lain dari segmen garis. Ulangi dengan sisi lain dari garis. Terakhir, hubungkan titik di mana kedua busur berpotongan dengan masing-masing ujung segmen garis

Metode alternatif adalah dengan menggambar sebuah lingkaran dengan radius r, tempatkan ujung jangka pada lingkaran dan gambar lingkaran lain dengan jari-jari yang sama. Dua lingkaran akan berpotongan di dua titik. Sebuah segitiga sama sisi dapat dibangun dengan mengambil dua pusat lingkaran dan juga titik-titik persimpangan lingkaran.

Dalam kedua metode ini produk merupakan formasi vesica piscis.

Bukti bahwa bentuk yang dihasilkan adalah sebuah segitiga sama sisi adalah proposisi pertama di Buku I Elemen Euklides.

Derivasi dari rumus luas

Rumus luas area ${\displaystyle A={\frac {\sqrt {3}}{4}}a^{2}}$ dalam hal panjang sisi dapat diturunkan secara langsung dengan menggunakan teorema Pythagoras atau menggunakan trigonometri.

Dengan menggunakan teorema Pythagoras

Luas segitiga adalah setengah dari satu sisi a dikalikan ketinggian h dari sisi tersebut:

${\displaystyle A={\frac {1}{2}}ah.}$

Kaki-kaki baik sebelah kanan segitiga yang dibentuk oleh ketinggian segitiga sama sisi adalah setengah dari basis a, dan sisi miring dengan sisi a dari segitiga sama sisi. Ketinggian segitiga sama sisi dapat ditemukan dengan menggunakan teorema Pythagoras

${\displaystyle \left({\frac {a}{2}}\right)^{2}+h^{2}=a^{2}}$

sehingga

${\displaystyle h={\frac {\sqrt {3}}{2}}a.}$

dengan memasukkan h ke rumus luas area (1/2)ah menjadikan rumus luas area untuk segitiga sama sisi:

${\displaystyle A={\frac {\sqrt {3}}{4}}a^{2}.}$

Menggunakan trigonometri

Menggunakan trigonometri, luas segitiga dengan dua sisi a dan b, dan sudut C antara mereka adalah

${\displaystyle A={\frac {1}{2}}ab\sin C.}$

Setiap sudut dari sebuah segitiga sama sisi adalah 60°, sehingga

${\displaystyle A={\frac {1}{2}}ab\sin 60^{\circ }.}$

Sinus dari 60° adalah ${\displaystyle {\tfrac {\sqrt {3}}{2}}}$. Dengan demikian

${\displaystyle A={\frac {1}{2}}ab\times {\frac {\sqrt {3}}{2}}={\frac {\sqrt {3}}{4}}ab={\frac {\sqrt {3}}{4}}a^{2}}$

karena semua sisi dari sebuah segitiga sama sisi adalah sama.

Dalam budaya dan masyarakat

Segitiga sama sisi sering muncul dalam konstruksi yang dibuat manusia:

• Beberapa situs arkeologi memiliki segitiga sama sisi sebagai bagian dari konstruksi, misalnya Lepenski Vir di Serbia.
• Bentuk segitiga juga muncul terjadi dalam arsitektur modern seperti Randhurst Mall dan Tugu peringatan pengembangan nasional Jefferson.
• Bendera Nikaragua, Bendera Filipina, Segel Presiden Filipina, dan Bendera Junqueiropolis mengandung segitiga sama sisi.
• Segitiga sama sisi adalah bentuk dari berbagai tanda-tanda jalan, termasuk tanda berhenti.
• Persaudaraan Tau Kappa Epsilon menggunakan segitiga sama sisi sebagai simbol utama.

Lihat pula

• Segitiga hampir sama sisi Heronia
• Segitiga sama kaki
• Segitiga siku-siku
• Trigonometri

Referensi

1. ^ ^{a b c d} Andreescu, Titu; Andrica, Dorian (2006). Complex Numbers from A to...Z. Birkhäuser. hlm. 70, 113–115. 
2. ^ ^{a b c} Pohoata, Cosmin (2010). "A new proof of Euler's inradius - circumradius inequality" (PDF). Gazeta Matematica Seria B (3): 121–123. 
3. ^ [1]
4. ^ Bencze, Mihály; Wu, Hui-Hua; Wu, Shan-He (2008). "An equivalent form of fundamental triangle inequality and its applications" (PDF). Research Group in Mathematical Inequalities and Applications. 11 (1). 
5. ^ Dospinescu, G.; Lascu, M.; Pohoata, C.; Letiva, M. (2008). "An elementary proof of Blundon's inequality" (PDF). Journal of inequalities in pure and applied mathematics. 9 (4). 
6. ^ Blundon, W. J. (1963). "On Certain Polynomials Associated with the Triangle". Mathematics Magazine. 36 (4): 247–248. doi:10.2307/2687913. 
7. ^ ^{a b} Alsina, Claudi; Nelsen, Roger B. (2009). When less is more. Visualizing basic inequalities. Mathematical Association of America. hlm. 71, 155. 
8. ^ McLeman, Cam; Ismail, Andrei. "Weizenbock's inequality". PlanetMath. Diarsipkan dari versi asli tanggal 2012-02-18. 
9. ^ Owen, Byer; Felix, Lazebnik; Deirdre, Smeltzer (2010). Methods for Euclidean Geometry. Mathematical Association of America. hlm. 36, 39. 
10. ^ Yiu, Paul (1998). "Notes on Euclidean Geometry" (PDF). ^{[pranala nonaktif permanen]}
11. ^ Cerin, Zvonko (2004). "The vertex-midpoint-centroid triangles" (PDF). Forum Geometricorum. 4: 97–109. 
12. ^ Posamentier, Alfred S.; Salkind, Charles T. (1996). Challenging Problems in Geometry. Dover Publ. 
13. ^ Svrtan, Dragutin; Veljan, Darko (2012). "Non-Euclidean versions of some classical triangle inequalities" (PDF). Forum Geometricorum. 12: 197–209. 
14. ^ Dörrie, Heinrich (1965). 100 Great Problems of Elementary Mathematics. Dover Publ. hlm. 379–380. 
15. ^ Minda, D.; Phelps, S. (2008). "Triangles, ellipses, and cubic polynomials". American Mathematical Monthly. 115 (October): 679–689. 
16. ^ Chakerian, G. D. "A Distorted View of Geometry." Ch. 7 in Mathematical Plums (R. Honsberger, editor). Washington, DC: Mathematical Association of America, 1979: 147.
17. ^ "Inequalities proposed in "Crux Mathematicorum"" (PDF). 
18. ^ Dao, Thanh Oai (2015). "Equilateral triangles and Kiepert perspectors in complex numbers" (PDF). Forum Geometricorum. 15: 105–114. 
19. ^ Lee, Hojoo (2001). "Another proof of the Erdős–Mordell Theorem" (PDF). Forum Geometricorum. 1: 7–8. 
20. ^ De, Prithwijit (2008). "Curious properties of the circumcircle and incircle of an equilateral triangle". Mathematical Spectrum. 41 (1): 32–35.