Pertidaksamaan Cauchy–Schwarz

Pertidaksamaan Cauchy–Schwarz, atau dikenal juga sebagai pertidaksamaan Cauchy–Bunyakovsky–Schwarz,[1][2][3][4] adalah salah satu pertidaksamaan yang sangat penting dan seringkali dipakai dalam matematika.[5]

Pertidaksamaan untuk penjumlahan diterbitkan oleh Augustin-Louis Cauchy (1821), sedangkan pertidaksamaan untuk integral pertama kali dibuktikan oleh Viktor Bunyakovsky (1859)[2] dan Hermann Amandus Schwarz (1888). Bukti modern untuk versi integral diberikan oleh Schwarz.[5]

Pernyataan pertidaksamaan

Pertidaksamaan Cauchy–Schwarz mengatakan bahwa untuk semua vektor u {\displaystyle \mathbf {u} } dan v {\displaystyle \mathbf {v} } dari ruang hasil kali dalam berlaku benar bahwa

⟨ u , v ⟩ 2 ≤ ⟨ u , u ⟩ ⋅ ⟨ v , v ⟩ , {\displaystyle \langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle ^{2}\leq \langle \mathbf {u} ,\mathbf {u} \rangle \cdot \langle \mathbf {v} ,\mathbf {v} \rangle ,}

 

 

 

 

(Pertidaksamaan Cauchy–Schwarz [yang ditulis hanya menggunakan hasil kali dalam])

dengan ⟨ ⋅ , ⋅ ⟩ {\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle } adalah hasil kali dalam. Setiap hasil kali dalam menimbulkan norma, yang disebut sebagai norma terimbas dengan norma dari vektor u {\displaystyle \mathbf {u} } dinyatakan dan didefinisikan dengan:

‖ u ‖ := ⟨ u , u ⟩ {\displaystyle \|\mathbf {u} \|:={\sqrt {\langle \mathbf {u} ,\mathbf {u} \rangle }}}
sehingga norma dan hasil kali dalam tersebut berkaitan dengan mendefinisikan syarat bahwa ‖ u ‖ 2 = ⟨ u , u ⟩ , {\displaystyle \|\mathbf {u} \|^{2}=\langle \mathbf {u} ,\mathbf {u} \rangle ,} dengan ⟨ u , u ⟩ {\displaystyle \langle \mathbf {u} ,\mathbf {u} \rangle } selalu bernilai real non-negatif (bahkan jika hasil kali dalamnya bernilai kompleks). Dengan mengakarkuadratkan kedua ruas, pertidaksamaan di atas dapat dituliskan dalam bentuk yang lebih familiar:[6][7]

| ⟨ u , v ⟩ | ≤ ‖ u ‖ ‖ v ‖ . {\displaystyle |\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle |\leq \|\mathbf {u} \|\|\mathbf {v} \|.}

 

 

 

 

(Pertidaksamaan Cauchy–Schwarz [yang ditulis menggunakan norma dan hasil kali dalam])

Terlebih lagi, kedua ruas tersebut akan sama jika dan hanya jika u {\displaystyle \mathbf {u} } dan v {\displaystyle \mathbf {v} } adalah vektor yang tergantung linear.[8][9][10]

Kasus istimewa

Lema Sadrayakan untuk bilangan real positif

Pertidaksamaan Sedrakyan, atau disebut pertidaksamaan Bergström, bentuk Engel, lema T2, atau lema Titu, mengatakan bahwa untuk bilangan real positif:

( ∑ i = 1 n u i ) 2 ∑ i = 1 n v i ≤ ∑ i = 1 n u i 2 v i atau u 1 2 v 1 + u 2 2 v 2 + ⋯ + u n 2 v n ≥ ( u 1 + u 2 + ⋯ + u n ) 2 v 1 + v 2 + ⋯ + v n . {\displaystyle {\frac {\left(\sum _{i=1}^{n}u_{i}\right)^{2}}{\sum _{i=1}^{n}v_{i}}}\leq \sum _{i=1}^{n}{\frac {u_{i}^{2}}{v_{i}}}\quad {\text{atau}}\quad {\frac {u_{1}^{2}}{v_{1}}}+{\frac {u_{2}^{2}}{v_{2}}}+\cdots +{\frac {u_{n}^{2}}{v_{n}}}\geq {\frac {\left(u_{1}+u_{2}+\cdots +u_{n}\right)^{2}}{v_{1}+v_{2}+\cdots +v_{n}}}.}
Pertidaksamaan ini merupakan akibat langsung dari pertidaksamaan Cauchy–Schwarz, yang diperoleh dengan menggunakan hasil kali bintik di R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} dengan memasukkan
u i ′ = u i v i  dan  v i ′ = v i . {\displaystyle u_{i}'={\frac {u_{i}}{\sqrt {v_{i}}}}{\text{ dan }}v_{i}'={\sqrt {v_{i}}}.}
Bentuk ini sangat berguna saat pertidaksamaan tersebut melibatkan pecahan yang mempunyai pembilang berupa bilangan kuadrat.

Ruang Euklides dimensi-n

Dalam ruang Euklides R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} dengan hasil kali dalam standar, yaitu hasil kali bintik, pertidaksamaan Cauchy–Schwarz ditulis sebagai

( ∑ i = 1 n u i v i ) 2 ≤ ( ∑ i = 1 n u i 2 ) ( ∑ i = 1 n v i 2 ) {\displaystyle \left(\sum _{i=1}^{n}u_{i}v_{i}\right)^{2}\leq \left(\sum _{i=1}^{n}u_{i}^{2}\right)\left(\sum _{i=1}^{n}v_{i}^{2}\right)}
Pertidaksamaan Cauchy–Schwarz dapat dibuktikan dengan menggunakan gagasan aljabar elementer. Misalkan polinomial kuadrat di x {\displaystyle x} di bawah berikut adalah:
0 ≤ ( u 1 x + v 1 ) 2 + ⋯ + ( u n x + v n ) 2 = ( ∑ u i 2 ) x 2 + 2 ( ∑ u i v i ) x + ∑ v i 2 . {\displaystyle 0\leq (u_{1}x+v_{1})^{2}+\cdots +(u_{n}x+v_{n})^{2}=\left(\sum u_{i}^{2}\right)x^{2}+2\left(\sum u_{i}v_{i}\right)x+\sum v_{i}^{2}.}
Pertidaksamaan tersebut setidaknya mempunyai satu buah solusi real untuk x , {\displaystyle x,} sebab nilainya tak negatif. Karena itu, diskriminan dari polinomial lebih kecil daripada sama dengan nol, dalam artian,
( ∑ i u i v i ) 2 − ( ∑ i u i 2 ) ( ∑ i v i 2 ) ≤ 0 , {\displaystyle \left(\sum _{i}u_{i}v_{i}\right)^{2}-\left(\sum _{i}{u_{i}^{2}}\right)\left(\sum _{i}{v_{i}^{2}}\right)\leq 0,}

Ruang kompleks bidang-n

Jika u , v ∈ C n {\displaystyle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \in \mathbb {C} ^{n}} dengan u = ( u 1 , … , u n ) {\displaystyle \mathbf {u} =(u_{1},\dots ,u_{n})} dan v = ( v 1 , … , v n ) {\displaystyle \mathbf {v} =(v_{1},\dots ,v_{n})} , dan u 1 , … , u n ∈ C {\displaystyle u_{1},\ldots ,u_{n}\in \mathbb {C} } dan v 1 , … , v n ∈ C {\displaystyle v_{1},\ldots ,v_{n}\in \mathbb {C} } ; serta jika hasil kali dalam di ruang vektor C n {\displaystyle \mathbb {C} ^{n}} merupakan hasil kali dalam kompleks kanonis (yang didefinisikan dengan ⟨ u , v ⟩ := u 1 v 1 ¯ + ⋯ + u n v n ¯ , {\displaystyle \langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle :=u_{1}{\overline {v_{1}}}+\cdots +u_{n}{\overline {v_{n}}},} dengan notasi bar pada rumus tersebut melambangkan konjugasi sekawan), maka terdapat sebuah pertidaksamaan yang dapat dinyatakan lebih eksplisit sebagai berikut:

| ∑ i = 1 n u i v ¯ i | 2 ≤ ∑ j = 1 n | u j | 2 ∑ k = 1 n | v k | 2 , {\displaystyle \left|\sum _{i=1}^{n}u_{i}{\bar {v}}_{i}\right|^{2}\leq \sum _{j=1}^{n}|u_{j}|^{2}\sum _{k=1}^{n}|v_{k}|^{2},}
atau dengan kata lain,
| u 1 v ¯ 1 + ⋯ + u n v ¯ n | 2 ≤ ( | u 1 | 2 + ⋯ + | u n | 2 ) ( | v 1 | 2 + ⋯ + | v n | 2 ) . {\displaystyle |u_{1}{\bar {v}}_{1}+\cdots +u_{n}{\bar {v}}_{n}|^{2}\leq (|u_{1}|^{2}+\cdots +|u_{n}|^{2})(|v_{1}|^{2}+\cdots +|v_{n}|^{2}).}

L2

Untuk hasil kali dalam dari fungsi bernilai kompleks terintegralkan kuadrat, didapat pertidaksamaan berikut

| ∫ R n f ( x ) g ( x ) ¯ d x | 2 ≤ ∫ R n | f ( x ) | 2 d x ∫ R n | g ( x ) | 2 d x . {\displaystyle \left|\int _{\mathbb {R} ^{n}}f(x){\overline {g(x)}}\,dx\right|^{2}\leq \int _{\mathbb {R} ^{n}}|f(x)|^{2}\,dx\int _{\mathbb {R} ^{n}}|g(x)|^{2}\,dx.}

Pertidaksamaan di atas ini dapat diperumum menjadi pertidaksamaan Hölder.

Lihat pula

  • Pertidaksamaan Bessel – Pertidaksamaan yang digunakan dalam banyak pengaturan berbeda, seperti aljabar linier, analisis, teori probabilitas, aljabar vektor, dan bidang lainnya. Ini dianggap sebagai salah satu pertidaksamaan yang paling penting
  • Pertidaksamaan Hölder – Pertidaksamaan yang digunakan dalam banyak pengaturan berbeda, seperti aljabar linier, analisis, teori probabilitas, aljabar vektor, dan bidang lainnya. Ini dianggap sebagai salah satu pertidaksamaan yang paling penting
  • Pertidaksamaan Jensen
  • Pertidaksamaan Kunita–Watanabe – Pertidaksamaan yang digunakan dalam banyak pengaturan berbeda, seperti aljabar linier, analisis, teori probabilitas, aljabar vektor, dan bidang lainnya. Ini dianggap sebagai salah satu pertidaksamaan yang paling penting
  • Pertidaksamaan Minkowski – Pertidaksamaan yang digunakan dalam banyak pengaturan berbeda, seperti aljabar linier, analisis, teori probabilitas, aljabar vektor, dan bidang lainnya. Ini dianggap sebagai salah satu pertidaksamaan yang paling penting
  • Pertidaksamaan Paley–Zygmund – Pertidaksamaan yang digunakan dalam banyak pengaturan berbeda, seperti aljabar linier, analisis, teori probabilitas, aljabar vektor, dan bidang lainnya. Ini dianggap sebagai salah satu pertidaksamaan yang paling penting

Kutipan

  1. ^ O'Connor, J.J.; Robertson, E.F. "Hermann Amandus Schwarz". University of St Andrews, Scotland. 
  2. ^ a b Bityutskov, V. I. (2001) [1994], "Bunyakovskii inequality", dalam Hazewinkel, Michiel, Encyclopedia of Mathematics, Springer Science+Business Media B.V. / Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1-55608-010-4 
  3. ^ Ćurgus, Branko. "Cauchy-Bunyakovsky-Schwarz inequality". Department of Mathematics. Western Washington University. 
  4. ^ Joyce, David E. "Cauchy's inequality" (PDF). Department of Mathematics and Computer Science. Clark University. 
  5. ^ a b Steele, J. Michael (2004). The Cauchy–Schwarz Master Class: an Introduction to the Art of Mathematical Inequalities. The Mathematical Association of America. hlm. 1. ISBN 978-0521546775. ...tak perlu diragukan bahwa ini adalah salah satu pertidaksamaan yang paling sering dipakai dan paling penting dalam semua cabang matematika.  Parameter |url-status= yang tidak diketahui akan diabaikan (bantuan)
  6. ^ Strang, Gilbert (19 July 2005). "3.2". Linear Algebra and its Applications (edisi ke-4th). Stamford, CT: Cengage Learning. hlm. 154–155. ISBN 978-0030105678. 
  7. ^ Hunter, John K.; Nachtergaele, Bruno (2001). Applied Analysis. World Scientific. ISBN 981-02-4191-7. 
  8. ^ Bachmann, George; Narici, Lawrence; Beckenstein, Edward (2012-12-06). Fourier and Wavelet Analysis. Springer Science & Business Media. hlm. 14. ISBN 9781461205050. 
  9. ^ Hassani, Sadri (1999). Mathematical Physics: A Modern Introduction to Its Foundations. Springer. hlm. 29. ISBN 0-387-98579-4. Kesamaan berlaku jika dan hanya jika <c|c>=0 atau |c>=0. Berdasarkan definisi |c>, kita simpulkan bahwa |a> dan |b> harus sebanding.  Parameter |url-status= yang tidak diketahui akan diabaikan (bantuan)
  10. ^ Axler, Sheldon (2015). Linear Algebra Done Right, 3rd Ed. Springer International Publishing. hlm. 172. ISBN 978-3-319-11079-0. Pertidaksamaan akan menjadi kesamaan jika dan hanya jika salah astu dari u, v adalah kelipatan skalar dari yang lain.  Parameter |url-status= yang tidak diketahui akan diabaikan (bantuan)

Referensi

  • Aldaz, J. M.; Barza, S.; Fujii, M.; Moslehian, M. S. (2015), "Advances in Operator Cauchy—Schwarz inequalities and their reverses", Annals of Functional Analysis, 6 (3): 275–295, doi:10.15352/afa/06-3-20 
  • Bunyakovsky, Viktor (1859), "Sur quelques inegalités concernant les intégrales aux différences finies" (PDF), Mem. Acad. Sci. St. Petersbourg, 7 (1): 6 
  • Cauchy, A.-L. (1821), "Sur les formules qui résultent de l'emploie du signe et sur > ou <, et sur les moyennes entre plusieurs quantités", Cours d'Analyse, 1er Partie: Analyse Algébrique 1821; OEuvres Ser.2 III 373-377 
  • Dragomir, S. S. (2003), "A survey on Cauchy–Bunyakovsky–Schwarz type discrete inequalities", Journal of Inequalities in Pure and Applied Mathematics, 4 (3): 142 pp, diarsipkan dari versi asli tanggal 2008-07-20  Parameter |url-status= yang tidak diketahui akan diabaikan (bantuan)
  • Grinshpan, A. Z. (2005), "General inequalities, consequences, and applications", Advances in Applied Mathematics, 34 (1): 71–100, doi:10.1016/j.aam.2004.05.001 alt=Dapat diakses gratis 
  • Templat:Halmos A Hilbert Space Problem Book 1982
  • Kadison, R. V. (1952), "A generalized Schwarz inequality and algebraic invariants for operator algebras", Annals of Mathematics, 56 (3): 494–503, doi:10.2307/1969657, JSTOR 1969657 .
  • Lohwater, Arthur (1982), Introduction to Inequalities, Online e-book in PDF format 
  • Paulsen, V. (2003), Completely Bounded Maps and Operator Algebras, Cambridge University Press .
  • Schwarz, H. A. (1888), "Über ein Flächen kleinsten Flächeninhalts betreffendes Problem der Variationsrechnung" (PDF), Acta Societatis Scientiarum Fennicae, XV: 318 
  • Solomentsev, E. D. (2001) [1994], "Cauchy inequality", dalam Hazewinkel, Michiel, Encyclopedia of Mathematics, Springer Science+Business Media B.V. / Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1-55608-010-4 
  • Steele, J. M. (2004), The Cauchy–Schwarz Master Class, Cambridge University Press, ISBN 0-521-54677-X