Fungsi phi Euler
Dalam teori bilangan, fungsi phi Euler (bahasa Inggris: Euler's totient function) adalah fungsi yang menghitung bilangan bulat positif hingga diberikan bilangan bulat yang prima nisbi dengan . Fungsi ini ditulis dengan menggunakan huruf Yunani, phi, yang dilambangkan sebagai atau menyatakan kardinal himpunan bilangan asli dimana .
Bilangan bulat positif yang < 9 adalah 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8. Diantara bilangan-bilangan tersebut yang saling prima terhadap 9 adalah 1, 2, 4, 5, 7, 8, maka banyaknya bilangan yang saling prima terhadap 9 adalah sebanyak 6 sehingga φ(9) = 6.
Fungsi ini dikemukakan oleh Leonhard Euler (L. 15 April 1707, Swiss. w. 18 September 1783, Rusia).
Identitas
Terdapat beberapa identitas mengenai fungsi Euler phi, diantaranya:
- ,
- , untuk adalah bilangan prima
- jika
Rumus lainnya
Apabila rumus lain mengenai fungsi Euler phi, diantaranya
- , untuk setiap
- Perhatikan kasus khusus
- Bandingkan dengan rumus
- (Lihat kelipatan persekutuan terkecil.)
- φ(n) genap untuk n ≥ 3. Selain itu, jika n memiliki r faktor prima ganjil yang berbeda, 2r | φ(n)
- Untuk a > 1 dan n > 6 sehingga 4 ∤ n terdapat l ≥ 2n sedemikian sehingga l | φ(an − 1).
- di mana adalah radikal dari .
- (dengan adalah konstanta Euler–Mascheroni).
- dimana adalah bilangan bulat positif dan adalah jumlah faktor prima yang berbeda dari .[6]
Beberapa bilangan
100 nilai pertama (barisan A000010 pada OEIS) ditampilkan pada tabel dan grafik di bawah ini:
untuk + 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 1 1 2 2 4 2 6 4 6 4 10 10 4 12 6 8 8 16 6 18 8 20 12 10 22 8 20 12 18 12 28 8 30 30 16 20 16 24 12 36 18 24 16 40 40 12 42 20 24 22 46 16 42 20 50 32 24 52 18 40 24 36 28 58 16 60 60 30 36 32 48 20 66 32 44 24 70 70 24 72 36 40 36 60 24 78 32 80 54 40 82 24 64 42 56 40 88 24 90 72 44 60 46 72 32 96 42 60 40
Dalam grafik di kanan atas baris adalah batas atas valid untuk semua selain satu, dan dicapai jika dan hanya jika adalah bilangan prima. Batas bawah sederhana adalah , yang agak longgar: sebenarnya, lower limit dari grafik sebanding dengan .[7]
Fungsi pembangkit
Deret Dirichlet untuk dapat ditulis dalam istilah fungsi zeta Riemann sebagai:[8]
Fungsi pembangkit deret Lambert adalah[9]
konvergen untuk .
Keduanya dibuktikan dengan manipulasi deret dasar dan rumus untuk .
Rasio bilangan berurutan
Pada tahun 1950 Somayajulu membuktikan[10][11]
- dan
Pada tahun 1954 Schinzel dan Sierpiński memperkuat ini, membuktikan[10][11] bahwa himpunan
adalah padat dalam bilangan riil positif. Mereka pun membuktikannya[10] bahwa himpunan
padat dalam interval .
Lihat pula
- Fungsi Carmichael
- Konjektur Duffin–Schaeffer
- Generalisasi teorema kecil Fermat
- Bilangan komposit tinggi
- Grup perkalian bilangan bulat modulo n
- Jumlah Ramanujan
- Fungsi penjumlahan total
Catatan
- ^ "Euler's totient function". Khan Academy. Diakses tanggal 2016-02-26.
- ^ Dineva (dalam referensi eksternal), prop. 1
- ^ a b Walfisz, Arnold (1963). Weylsche Exponentialsummen in der neueren Zahlentheorie. Mathematische Forschungsberichte (dalam bahasa Jerman). 16. Berlin: VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften. Zbl 0146.06003.
- ^ Lomadse, G., "The scientific work of Arnold Walfisz" (PDF), Acta Arithmetica, 10 (3): 227–237, diarsipkan (PDF) dari versi asli tanggal 2023-06-06, diakses tanggal 2020-04-22
- ^ a b Sitaramachandrarao, R. (1985). "On an error term of Landau II". Rocky Mountain J. Math. 15: 579–588.
- ^ Bordellès di pranala luar
- ^ Kesalahan pengutipan: Tag
<ref>
tidak sah; tidak ditemukan teks untuk ref bernamahw328
- ^ Hardy & Wright 1979, thm. 288
- ^ Hardy & Wright 1979, thm. 309
- ^ a b c Ribenboim, p.38
- ^ a b Sándor, Mitrinović & Crstici (2006) p.16
Referensi
Disquisitiones Arithmeticae telah diterjemahkan dari bahasa Latin ke dalam bahasa Inggris dan Jerman. Edisi Jerman mencakup semua makalah Gauss tentang teori bilangan: semua bukti timbal balik kuadrat, penentuan tanda jumlah Gauss, penyelidikan timbal balik biquadratic, dan catatan yang tidak diterbitkan.
Referensi ke Disquisitiones adalah dari bentuk Gauss, DA, art. nnn.
- Abramowitz, M.; Stegun, I. A. (1964), Handbook of Mathematical Functions, New York: Dover Publications, ISBN 0-486-61272-4 . See paragraph 24.3.2.
- Bach, Eric; Shallit, Jeffrey (1996), Algorithmic Number Theory (Vol I: Efficient Algorithms), MIT Press Series in the Foundations of Computing, Cambridge, MA: The MIT Press, ISBN 0-262-02405-5, Zbl 0873.11070
- Dickson, Leonard Eugene, "History Of The Theory Of Numbers", vol 1, chapter 5 "Euler's Function, Generalizations; Farey Series", Chelsea Publishing 1952
- Ford, Kevin (1999), "The number of solutions of φ(x) = m", Annals of Mathematics, 150 (1): 283–311, doi:10.2307/121103, ISSN 0003-486X, JSTOR 121103, MR 1715326, Zbl 0978.11053 .
- Gauss, Carl Friedrich; Clarke, Arthur A. (translator into English) (1986), Disquisitiones Arithmeticae (Second, corrected edition), New York: Springer, ISBN 0-387-96254-9
- Gauss, Carl Friedrich; Maser, H. (translator into German) (1965), Untersuchungen uber hohere Arithmetik (Disquisitiones Arithmeticae & other papers on number theory) (Second edition), New York: Chelsea, ISBN 0-8284-0191-8
- Graham, Ronald; Knuth, Donald; Patashnik, Oren (1994), Concrete Mathematics: a foundation for computer science (edisi ke-2nd), Reading, MA: Addison-Wesley, ISBN 0-201-55802-5, Zbl 0836.00001
- Guy, Richard K. (2004), Unsolved Problems in Number Theory, Problem Books in Mathematics (edisi ke-3rd), New York, NY: Springer-Verlag, ISBN 0-387-20860-7, Zbl 1058.11001
- Hardy, G. H.; Wright, E. M. (1979), An Introduction to the Theory of Numbers (edisi ke-Fifth), Oxford: Oxford University Press, ISBN 978-0-19-853171-5
- Long, Calvin T. (1972), Elementary Introduction to Number Theory (edisi ke-2nd), Lexington: D. C. Heath and Company, LCCN 77-171950
- Pettofrezzo, Anthony J.; Byrkit, Donald R. (1970), Elements of Number Theory, Englewood Cliffs: Prentice Hall, LCCN 77-81766
- Ribenboim, Paulo (1996), The New Book of Prime Number Records (edisi ke-3rd), New York: Springer, ISBN 0-387-94457-5, Zbl 0856.11001
- Sandifer, Charles (2007), The early mathematics of Leonhard Euler, MAA, ISBN 0-88385-559-3
- Sándor, József; Mitrinović, Dragoslav S.; Crstici, Borislav, ed. (2006), Handbook of number theory I, Dordrecht: Springer-Verlag, hlm. 9–36, ISBN 1-4020-4215-9, Zbl 1151.11300
- Sándor, Jozsef; Crstici, Borislav (2004). Handbook of number theory II. Dordrecht: Kluwer Academic. hlm. 179–327. ISBN 1-4020-2546-7. Zbl 1079.11001.
- Schramm, Wolfgang (2008), "The Fourier transform of functions of the greatest common divisor", Electronic Journal of Combinatorial Number Theory, A50 (8(1)), diarsipkan dari versi asli tanggal 2009-05-01, diakses tanggal 2021-01-27 .
Pranala luar
- Hazewinkel, Michiel, ed. (2001) [1994], "Totient function", Encyclopedia of Mathematics, Springer Science+Business Media B.V. / Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1-55608-010-4
- Euler's Phi Function and the Chinese Remainder Theorem — proof that φ(n) is multiplicative Diarsipkan 2021-02-28 di Wayback Machine.
- Euler's totient function calculator in JavaScript — up to 20 digits Diarsipkan 2023-07-06 di Wayback Machine.
- Dineva, Rosica, The Euler Totient, the Möbius, and the Divisor Functions Diarsipkan 2021-01-16 di Wayback Machine.
- Plytage, Loomis, Polhill Summing Up The Euler Phi Function Diarsipkan 2023-05-23 di Wayback Machine.