Barisan aritmetika-geometrik

Kalkulus
Teorema dasar Limit fungsi Kontinuitas Teorema nilai purata Teorema Rolle
Diferensial Definisi Turunan (perumuman) Tabel turunan Diferensial infinitesimal fungsi total Konsep Notasi untuk pendiferensialan Turunan kedua Turunan ketiga Perubahan variabel Pendiferensialan implisit Laju yang berkaitan Teorema Taylor Kaidah dan identitas Kaidah penjumlahan dalam pendiferensialan Perkalian Rantai Pangkat Pembagian Rumus Faà di Bruno
Integral Definisi Antiderivatif Integral (takwajar) Integral Riemann Integrasi Lebesgue Integrasi kontur Tabel integral Integrasi secara parsial cakram kulit tabung substitusi (trigonometri) pecahan parsial Urutan Rumus reduksi
Deret geometri (aritmetika-geometrik) harmonik selang-seling pangkat binomial Taylor Uji kekonvergenan uji suku rasio akar integral perbandingan langsung perbandingan limit deret selang-seling kondensasi Cauchy Dirichlet Abel
Vektor Gradien Divergence Keikalan Laplace berarah identitas Teorema Kedivergenan Gradien Green Stokes
Multivariabel Formalisme matriks tensor eksterior geometrik Definisi Turunan parsial Integral lipat Integral garis Permukaan integral integral volume Jacobi Hesse
Khusus fraksional Malliavin stokastik variasi
l b s

Dalam matematika, barisan aritmetika-geometrik adalah hasil dari perkalian suku-demi-suku pada barisan aritmetika dengan suku barisan geometri yang bersesuaian. Secara matematis, suku ke-${\displaystyle n}$ dari barisan aritmetika-geometrik adalah hasil kali dari suku ke-${\displaystyle n}$ dari barisan aritmetika dengan suku ke-${\displaystyle n}$ dari barisan geometrik.^[1] Barisan aritmetika-geometrik muncul pada berbagai aspek, seperti perhitungan nilai harapan dalam teori peluang.

Alternatifnya, barisan aritmetika-geometrik dapat didefinisikan sebagai barisan dengan bentuk umum

${\displaystyle u_{n+1}=r\,u_{n}+cr^{n}}$

untuk suatu nilai ${\displaystyle c}$ dan ${\displaystyle r}$. Dari bentuk di atas, maka terlihat bahwa barisan aritmetika-geometrik adalah kasus spesial dari relasi perulangan linier.

• Jika ${\displaystyle r=1}$, maka barisan aritmetika-geometrik akan menjadi barisan aritmetika
• Jika ${\displaystyle c=0}$, maka barisan aritmetika-geometrik akan menjadi barisan geometrik

Suku barisan

Dari definisi di atas, misalkan bagian yang berwarna biru menyatakan barisan aritmetika dengan nilai awal ${\displaystyle a}$ dan beda ${\displaystyle b}$, dan bagian yang berwarna merah menyatakan barisan geometri dengan nilai awal ${\displaystyle k}$ dan rasio ${\displaystyle r}$. Maka, beberapa suku pertama dari barisan aritmetika-geometrik ialah:^[2]

${\displaystyle {\begin{aligned}u_{1}&=\color {blue}{a}\color {red}{k}\\u_{2}&=\color {blue}{(a+b)}\color {red}{(kr)}\\u_{3}&=\color {blue}{(a+2b)}\color {red}{(kr^{2})}\\&\vdots \\u_{n}&=\color {blue}{(a+(n-1)b)}\color {red}{(kr^{n-1})}\end{aligned}}}$

Contoh

Sebagai contoh, barisan

${\displaystyle {\dfrac {\color {blue}{1}}{\color {red}{2}}},\,{\dfrac {\color {blue}{2}}{\color {red}{4}}},\,{\dfrac {\color {blue}{3}}{\color {red}{8}}},\,{\dfrac {\color {blue}{4}}{\color {red}{16}}},\,{\dfrac {\color {blue}{5}}{\color {red}{32}}},\ldots }$

dapat dikonstruksikan dengan memilih ${\displaystyle {\begin{bmatrix}a\\b\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix}}}$ dan ${\displaystyle {\begin{bmatrix}k\\r\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1\\1/2\end{bmatrix}}}$.

Jumlahan berhingga

Jumlahan ${\displaystyle n}$ suku pertama dari barisan aritmetika-geometrik memiliki bentuk tertutup

${\displaystyle {\begin{aligned}S_{n}&={\frac {ak-(a+nd)\,kr^{n}}{1-r}}+{\frac {dbr\,(1-r^{n})}{(1-r)^{2}}}\\&={\frac {A_{1}G_{1}-A_{n+1}G_{n+1}}{1-r}}+{\frac {dr}{(1-r)^{2}}}\,(G_{1}-G_{n+1}).\end{aligned}}}$

Bukti

Deret Teleskopik

Misalkan hasil jumlahannya dinotasikan dengan ${\displaystyle S_{n}}$, dengan indeks ${\displaystyle n}$ menyatakan banyaknya suku berurutan yang akan dijumlahkan. Oleh karena banyaknya suku yang dijumlahkan hanya berhingga banyaknya, maka hasilnya tidak akan divergen. Akan digunakan notasi ${\displaystyle A_{n}}$ untuk menyatakan suku ke-${\displaystyle n}$ dari barisan aritmetika, dan notasi ${\displaystyle G_{n}}$ untuk menyatakan suku ke-${\displaystyle n}$ dari barisan geometri. Dengan menggunakan informasi bahwa ${\displaystyle A_{i}=A_{i-1}+b}$ dan ${\displaystyle G_{i}=r\,G_{i-1}}$, perhatikan bahwa

${\displaystyle {\begin{array}{rcccrcrcccrcrc}S_{n}&=&A_{1}\,G_{1}&+&A_{2}\,G_{2}&+&A_{3}\,G_{3}&+&\ldots &+&A_{n}\,G_{n}&&&\\rS_{n}&=&{\phantom {A_{1}\,G_{1}}}&+&A_{1}\,G_{2}&+&A_{2}\,G_{3}&+&\ldots &+&A_{n-1}\,G_{n}&+&A_{n}\,G_{n+1}&-\\\hline (1-r)\,S_{n}&=&A_{1}\,G_{1}&+&b\,G_{2}&+&b\,G_{3}&+&\ldots &+&b\,G_{n}&-&A_{n}\,G_{n+1}&\\\end{array}}}$

Sehingga diperoleh

${\displaystyle {\begin{aligned}(1-r)\,S_{n}&=A_{1}\,G_{1}+b\,G_{2}+b\,G_{3}+\,\ldots \,+b\,G_{n}-A_{n}\,G_{n+1}\\&=A_{1}\,G_{1}-A_{n}\,G_{n+1}+b\,G_{2}+b\,G_{3}+\,\ldots \,+b\,G_{n}\\&=A_{1}\,G_{1}-A_{n}\,G_{n+1}-b\,G_{n+1}+b\,G_{2}+b\,G_{3}+\,\ldots \,+b\,G_{n}+b\,G_{n+1}\\&=A_{1}\,G_{1}-\left(A_{n}+b\right)\,G_{n+1}+b\left(G_{2}+G_{3}+\,\ldots \,+G_{n}+G_{n+1}\right)\\&=A_{1}\,G_{1}-A_{n+1}\,G_{n+1}+b\cdot {\frac {G_{2}-G_{n+2}}{1-r}}\\S_{n}&={\frac {A_{1}\,G_{1}-A_{n+1}\,G_{n+1}}{1-r}}+{\frac {br}{(1-r)^{2}}}\left(G_{1}-G_{n+1}\right)\end{aligned}}}$

Oleh karena ${\displaystyle A_{n}=a+(n-1)b}$ dan ${\displaystyle G_{n}=kr^{n-1}}$, maka rumus ${\displaystyle S_{n}}$ di atas dapat ditulis ulang sebagai

${\displaystyle S_{n}={\frac {ak-(a+nb)(kr^{n})}{1-r}}+{\frac {bkr(1-r^{n})}{(1-r)^{2}}}}$

Penjabaran Langsung

Misalkan hasil jumlahannya dinotasikan dengan ${\displaystyle S_{n}}$, dengan indeks ${\displaystyle n}$ menyatakan banyaknya suku berurutan yang akan dijumlahkan. Oleh karena banyaknya suku yang dijumlahkan hanya berhingga banyaknya, maka hasilnya tidak akan divergen. Perhatikan bahwa ${\displaystyle S_{n}}$ dapat dituliskan sebagai

${\displaystyle S_{n}}$	${\displaystyle =}$	${\displaystyle u_{1}}$	${\displaystyle +}$	${\displaystyle u_{2}}$	${\displaystyle +}$	${\displaystyle u_{3}}$	${\displaystyle +}$	${\displaystyle \dots }$	${\displaystyle +}$	${\displaystyle u_{n}}$
	${\displaystyle =}$	${\displaystyle ak}$	${\displaystyle +}$	${\displaystyle akr}$	${\displaystyle +}$	${\displaystyle akr^{2}}$	${\displaystyle +}$	${\displaystyle \dots }$	${\displaystyle +}$	${\displaystyle akr^{n-1}}$
				${\displaystyle +}$		${\displaystyle +}$				${\displaystyle +}$
				${\displaystyle bkr}$	${\displaystyle +}$	${\displaystyle bkr^{2}}$	${\displaystyle +}$	${\displaystyle \dots }$	${\displaystyle +}$	${\displaystyle bkr^{n-1}}$
						${\displaystyle +}$				${\displaystyle +}$
						${\displaystyle bkr^{2}}$	${\displaystyle +}$	${\displaystyle \dots }$	${\displaystyle +}$	${\displaystyle bkr^{n-1}}$
										${\displaystyle +}$
								${\displaystyle \ddots }$		${\displaystyle \vdots }$
										${\displaystyle +}$
										${\displaystyle bkr^{n-1}}$

Dengan menuliskan ${\displaystyle S_{n}}$ menggunakan cara di atas, maka terlihat bahwa nilai ${\displaystyle S_{n}}$ diperoleh dari hasil penjumlahan kolom per kolom. Akan tetapi, perspektif di atas juga menunjukkan bahwa menjumlahkan baris per baris akan menghasilkan jawaban yang sama, sebab suku yang dijumlahkan melalui kedua cara tersebut tidak berubah, dan hasilnya pasti berhingga. Jika penjabaran suku di atas dijumlahkan secara horizontal, maka

$${\displaystyle {\begin{aligned}S_{n}&=ak\left(1+r+r^{2}+\,\ldots \,+r^{n-1}\right)+bk\left(r+r^{2}+\,\ldots \,+r^{n-1}\right)+bk\left(r^{2}+\,\ldots \,+r^{n-1}\right)+\,\ldots \,+bkr^{n-1}\\&=ak\cdot {\frac {1-r^{n}}{1-r}}+bk\cdot {\frac {r-r^{n}}{1-r}}+bk\cdot {\frac {r^{2}-r^{n}}{1-r}}+\,\ldots \,+bk\cdot {\frac {r^{n-1}-r^{n}}{1-r}}\\&=ak\cdot {\frac {1-r^{n}}{1-r}}+bk\left({\frac {r}{1-r}}-{\frac {r^{n}}{1-r}}+{\frac {r^{2}}{1-r}}-{\frac {r^{n}}{1-r}}+\,\ldots \,+{\frac {r^{n-1}}{1-r}}-{\frac {r^{n}}{1-r}}\right)\\&=ak\cdot {\frac {1-r^{n}}{1-r}}+bk\left({\frac {r}{1-r}}-{\frac {r^{n}}{1-r}}+{\frac {r^{2}}{1-r}}-{\frac {r^{n}}{1-r}}+\,\ldots \,+{\frac {r^{n-1}}{1-r}}-{\frac {r^{n}}{1-r}}+{\frac {r^{n}}{1-r}}-{\frac {r^{n}}{1-r}}\right)\\&=ak\cdot {\frac {1-r^{n}}{1-r}}+bk\left({\frac {r+r^{2}+\,\ldots \,+r^{n}}{1-r}}-{\frac {nr^{n}}{1-r}}\right)\\&={\frac {ak-akr^{n}}{1-r}}+bk\left({\frac {r-r^{n+1}}{(1-r)^{2}}}-{\frac {nr^{n}}{1-r}}\right)\\&={\frac {ak}{1-r}}-{\frac {(a)(kr^{n})}{1-r}}+{\frac {bkr(1-r^{n})}{(1-r)^{2}}}-{\frac {(nb)(kr^{n})}{1-r}}\end{aligned}}}$$

Kalkulus Diferensial

Misalkan hasil jumlahannya dinotasikan dengan ${\displaystyle S_{n}}$, dengan indeks ${\displaystyle n}$ menyatakan banyaknya suku berurutan yang akan dijumlahkan. Oleh karena banyaknya suku yang dijumlahkan hanya berhingga banyaknya, maka hasilnya tidak akan divergen. Dengan menggunakan sifat linier dari turunan, perhatikan bahwa

${\displaystyle {\begin{aligned}S_{n}&=\sum _{i\,=\,1}^{n}A_{i}\,G_{i}\\&=\sum _{i\,=\,1}^{n}(a+(i-1)b)(kr^{i-1})\\&=\sum _{i\,=\,0}^{n-1}(a+ib)(kr^{i})\\&=\sum _{i\,=\,0}^{n-1}akr^{i}+\sum _{i\,=\,0}^{n-1}ibkr^{i}\\&=ak\sum _{i\,=\,0}^{n-1}r^{i}+(0)bkr^{0}+\sum _{i\,=\,1}^{n-1}ibkr^{i}\\&=ak\cdot {\frac {1-r^{n}}{1-r}}+bkr\sum _{i\,=\,1}^{n-1}ir^{i-1}\\&=ak\cdot {\frac {1-r^{n}}{1-r}}+bkr\sum _{i\,=\,1}^{n-1}\left({\frac {\text{d}}{{\text{d}}r}}r^{i}\right)\\&=ak\cdot {\frac {1-r^{n}}{1-r}}+bkr\,{\frac {\text{d}}{{\text{d}}r}}\left(\sum _{i\,=\,1}^{n-1}r^{i}\right)\\&=ak\cdot {\frac {1-r^{n}}{1-r}}+bkr\,{\frac {\text{d}}{{\text{d}}r}}\left({\frac {r}{1-r}}-{\frac {r^{n}}{1-r}}\right)\\&={\frac {ak-akr^{n}}{1-r}}+bkr\,\left({\frac {1}{(1-r)^{2}}}-{\frac {nr^{n-1}}{1-r}}-{\frac {r^{n}}{(1-r)^{2}}}\right)\\&={\frac {ak}{1-r}}-{\frac {(a)(kr^{n})}{1-r}}-{\frac {(nb)(kr^{n})}{1-r}}+{\frac {bkr(1-r^{n})}{(1-r)^{2}}}\\\end{aligned}}}$

yang merupakan hasil yang sama dengan dua metode sebelumnya.

Deret takhingga

Jika ${\displaystyle \left|r\right|<1}$, maka ${\displaystyle r^{n}}$ akan mendekati ${\displaystyle 0}$ apabila nilai ${\displaystyle n}$ cukup besar. Sehingga, nilai dari deret aritmetika-geometrik (disimbolkan dengan ${\displaystyle S}$) ialah^[2]

${\displaystyle {\begin{aligned}S&=\sum _{i\,=\,1}^{\infty }u_{i}\\&=\lim _{n\,\to \,\infty }\sum _{i\,=\,1}^{\infty }u_{i}\\&=\lim _{n\,\to \,\infty }S_{n}\\&=\lim _{n\,\to \,\infty }{\frac {ak}{1-r}}-\underbrace {\frac {(a+nb)(kr^{n})}{1-r}} _{{\text{mendekati }}0}+{\frac {bkr(1-r^{n})}{(1-r)^{2}}}\\&={\frac {ak}{1-r}}+{\frac {bkr}{(1-r)^{2}}}\\&={\frac {A_{1}\,G_{1}}{1-r}}+{\frac {br}{(1-r)^{2}}}\,G_{1}\end{aligned}}}$

Jika ${\displaystyle r}$ berada di luar jangkauan di atas, maka deretnya termasuk

• Deret divergen menuju ${\displaystyle \pm \infty }$, saat ${\displaystyle r>1}$, atau saat ${\displaystyle r=1}$ (dimana deretnya menjadi deret aritmetika takhingga) serta ${\displaystyle a\neq 0}$ dan ${\displaystyle b\cdot k\neq 0}$
  • Jika ${\displaystyle a=0}$ dan ${\displaystyle b\cdot k=0}$, semua nilai suku nya akan menjadi ${\displaystyle 0}$, sehingga nilai deret takhingga tidak divergen.
• Deret selang-seling, saat nilai ${\displaystyle r\leq -1}$

Tangga Jibril

Jika ${\displaystyle A_{n}=n}$ dan ${\displaystyle k=1}$, maka jumlahan dari barisan takhingga ini dikenal dengan sebutan tangga Jibril:^[3][4]

${\displaystyle \sum _{i\,=\,1}^{\infty }ir^{i}={\frac {r}{(1-r)^{2}}}\qquad {\text{dengan }}\,0<r<1}$

Contoh Penerapan : Perhitungan Nilai Harapan

Saat suatu koin adil dilempar, peluang untuk mendapatkan "gambar" adalah ${\displaystyle {\dfrac {1}{2}}}$. Apabila ${\displaystyle P(X=k)}$ menyatakan peluang munculnya "gambar" untuk pertama kalinya setelah ${\displaystyle k}$ lemparan, maka diperoleh

${\displaystyle {\begin{aligned}P(X=k)&=\left({\frac {1}{2}}\right)^{k-1}\cdot {\frac {1}{2}}\\&=\left({\frac {1}{2}}\right)^{k}\end{aligned}}}$

Dengan menggunakan rumus di atas, maka ekspektasi banyaknya koin yang harus dilempar sebelum mendapat "gambar" dapat dicari dengan

${\displaystyle E(X)=\sum _{k\,=\,1}^{\infty }k\cdot P(X=k)={\frac {1}{2}}+{\frac {2}{4}}+{\frac {3}{8}}+{\frac {4}{16}}+{\frac {5}{32}}+\ldots }$

yang merupakan deret aritmetika-geometrik takhingga, dengan ${\displaystyle {\begin{bmatrix}a\\b\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix}}}$ dan ${\displaystyle {\begin{bmatrix}k\\r\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1\\1/2\end{bmatrix}}}$. Dengan rumus deret aritmetika-geometrik, maka dapat dengan mudah ditunjukkan bahwa jumlahan di atas konvergen ke ${\displaystyle E(X)=2}$

Referensi

Bacaan lanjutan

• D. Khattar. The Pearson Guide to Mathematics for the IIT-JEE, 2/e (New Edition) [Panduan Matematika dari Pearson untuk Seleksi Bersama Masuk Institut Teknologi India, 2/e (Edisi Baru)] (dalam bahasa Inggris). Pearson Education India. hlm. 10.8. ISBN 81-317-2876-5. 
• P. Gupta. Comprehensive Mathematics XI [Matematika Komprehensif XI] (dalam bahasa Inggris). Laxmi Publications. hlm. 380. ISBN 81-7008-597-7.