Viète-formulák

A Viète-formulák egy polinom gyökei és együtthatói közötti összefüggéseket határozzák meg. François Viète (1540–1603) francia matematikusról nevezték el őket, aki először alkalmazott betűket az együtthatók jelölésére, így a gyökök és együtthatók közötti összefüggéseket az alábbiakhoz hasonló alakban tudta megadni. Formulái segítségével egyszerűbb a függvényeket ábrázolni, valamint az eredmények is könnyebben ellenőrizhetők.

Legyen P ( x ) = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + . . . + a n x n {\displaystyle P\left(x\right)=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+...+a_{n}x^{n}} egy n-edfokú polinom és x 1 , x 2 , . . . , x n {\displaystyle x_{1},x_{2},...,x_{n}} a polinom gyökei, akkor az együtthatók és gyökök közötti összefüggések:

{ x 1 + x 2 + . . . + x n = − a n − 1 a n x 1 x 2 + x 1 x 3 + . . . + x 1 x n + . . . + x n − 1 x n = a n − 2 a n . . . x 1 x 2 . . . x k + x 2 x 3 . . . x k − 1 x k + 1 + . . . + x n − k + 1 x n − k + 2 . . . x n = ( − 1 ) k a n − k a n . . . x 1 x 2 . . . x n = ( − 1 ) n a 0 a n {\displaystyle \left\{{\begin{aligned}&x_{1}+x_{2}+...+x_{n}=-{\frac {a_{n-1}}{a_{n}}}\\&x_{1}x_{2}+x_{1}x_{3}+...+x_{1}x_{n}+...+x_{n-1}x_{n}={\frac {a_{n-2}}{a_{n}}}\\&...\\&x_{1}x_{2}...x_{k}+x_{2}x_{3}...x_{k-1}x_{k+1}+...+x_{n-k+1}x_{n-k+2}...x_{n}=\left(-1\right)^{k}{\frac {a_{n-k}}{a_{n}}}\\&...\\&x_{1}x_{2}...x_{n}=\left(-1\right)^{n}{\frac {a_{0}}{a_{n}}}\\\end{aligned}}\right.}

A bizonyítása azon múlik, hogy a P ( x ) {\displaystyle P\left(x\right)} polinom felírható P ( x ) = a n ( x − x 1 ) ⋅ ( x − x 2 ) ⋅ ( x − x 3 ) . . . ( x − x n ) {\displaystyle P\left(x\right)=a_{n}\left(x-x_{1}\right)\cdot \left(x-x_{2}\right)\cdot \left(x-x_{3}\right)...\left(x-x_{n}\right)} gyöktényezős alakban.

Példák

Ha egy másodfokú P ( x ) = a x 2 + b x + c {\displaystyle P\left(x\right)=ax^{2}+bx+c} polinom gyökei x 1 , x 2 {\displaystyle x_{1},x_{2}} , akkor felírható P ( x ) = a ( x − x 1 ) ( x − x 2 ) {\displaystyle P\left(x\right)=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)} gyöktényezős alakban, így a Viète-formulák:

{ x 1 + x 2 = − b a x 1 x 2 = c a {\displaystyle \left\{{\begin{aligned}&x_{1}+x_{2}=-{\frac {b}{a}}\\&x_{1}x_{2}={\frac {c}{a}}\\\end{aligned}}\right.}

Ugyanezt megkaphatjuk a másodfokú egyenlet x 1 , 2 = − b ± b 2 − 4 a c 2 a {\displaystyle x_{1,2}={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}} megoldóképletéből is.

Harmadfokú P ( x ) = a x 3 + b x 2 + c x + d {\displaystyle P\left(x\right)=ax^{3}+bx^{2}+cx+d} polinom esetén gyöktényezős alakja P ( x ) = a ( x − x 1 ) ( x − x 2 ) ( x − x 3 ) {\displaystyle P\left(x\right)=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)\left(x-x_{3}\right)} , ahol x 1 , 2 , 3 {\displaystyle x_{1,2,3}} a polinom gyökei és a Viète-formulák:

{ x 1 + x 2 + x 3 = − b a x 1 x 2 + x 1 x 3 + x 2 x 3 = c a x 1 x 2 x 3 = − d a {\displaystyle \left\{{\begin{aligned}&x_{1}+x_{2}+x_{3}=-{\frac {b}{a}}\\&x_{1}x_{2}+x_{1}x_{3}+x_{2}x_{3}={\frac {c}{a}}\\&x_{1}x_{2}x_{3}=-{\frac {d}{a}}\\\end{aligned}}\right.}

Általánosítása

A Viète-formulák általánosabban is teljesülnek integritási tartományok fölötti polinomokra, amennyiben a főegyüttható invertálható, és a polinomnak ugyanannyi gyöke van, mint amekkora a foka. Az integritási tartomány feltétel ahhoz kell, hogy ne legyen több gyöke, és a gyökei egy skalárszorzó erejéig meghatározza a polinomot. Ha lehetnek többszörös gyökök, akkor a multiplicitásokat is meg kell adni.

Források

  • Weisstein, Eric W.: Viète-formulák (angol nyelven). Wolfram MathWorld
  • Többváltozós polinomok
Ez a matematikai tárgyú lap egyelőre csonk (erősen hiányos). Segíts te is, hogy igazi szócikk lehessen belőle!
  • matematika Matematikaportál • összefoglaló, színes tartalomajánló lap