Rouché tétele

Rouché tétele a komplex függvénytan egy tétele. Arról tesz kijelentést, hogy milyen függvényekkel lehet módosítani egy holomorf függvényt ahhoz, hogy a nullhelyek száma ne változzon. A meromorf függvényekre vonatkozó kiterjesztése a nullhelyek és a pólushelyek különbségéről tesz hasonló kijelentést.

Geometriai megjelenítés

A tételt jobban megmutatja egy informális, geometriai megjelenítés.

Legyen C egyszerű zárt görbe (nem önátmetsző). Legyen h(z) = f(z) + g(z). Ha f és g holomorfak C belsejében, akkor h-nak is holomorfnak kell lennie C belsejében. Ekkor a tétel azt állítja, hogy:

Ha |f(z)| > |h(z) − f(z)|, minden C-beli z-re, akkor f és h zérushelyeinek száma megegyezik C belsejében.

Jegyezzük meg, hogy az |f(z)| > |h(z) − f(z)| feltétel azt jelenti, hogy minden z-re f(z) távolsága a nullától nagyobb, mint h(z) − f(z) hossza, ami azt jelenti, hogy az ábrán a kék görbe minden pontjára az onnan nullához húzott vonal hosszabb, mint a hozzá asszociált zöld szakasz. Informálisan, a kék f(z) görbe közelebb van a piros h(z) görbéhez, mint a nullához.

Az előzőek szerint h(z) pontosan annyiszor kerüli meg az origót, mint f(z). Ezért a görbék nulla körüli indexe ugyanaz, így az argumentumelv alapján f(z) és h(z) nullhelyeinek számának meg kell egyeznie.

Ennek egy népszerű megfogalmazása a kutya meg a fája. A kutya póráza mindig rövidebb, mint a gazda távolsága a fától. Ekkor a kutya ugyanannyiszor kerüli meg a fát, mint a gazdája.

Állítás holomorf függvényekre

Legyenek az ${\displaystyle f,g\in {\mathcal {H}}(G)}$ függvények holomorfak a ${\displaystyle G\subset \mathbb {C} }$ tartományon. Legyen továbbá ${\displaystyle B(z_{0},r)\cup \partial B(z_{0},r)}$ a határával együtt G része, és a ${\displaystyle z\in \partial B(z_{0},r)}$ peremen teljesüljön, hogy:

${\displaystyle {\big |}g(z){\big |}<{\big |}f(z){\big |}}$.

Ekkor ${\displaystyle f}$ és ${\displaystyle f+g}$ nullhelyeinek száma multiplicitással megegyezik a ${\displaystyle B(z_{0},r)}$ körlapon. Ahol ${\displaystyle B(z_{0},r)}$ a ${\displaystyle z_{0}}$ közepű, r sugarú körlap.

Szimmetrikus változat

Az ${\displaystyle f,g\in {\mathcal {H}}(G)}$ holomorf függvények nullhelyeinek száma megegyezik a folytonos peremű ${\displaystyle \partial K}$, ${\displaystyle K\subset G}$ korlátos tartományon, ha a peremen teljesül a

${\displaystyle |f(z)+g(z)|<|f(z)|+|g(z)|,\qquad \forall z\in \partial K}$

szigorú háromszög-egyenlőtlenség. Theodor Estermann ezt az általánosabb alakot először Complex Numbers and Functions könyvében szerepeltette.

Polinomok gyökkorlátja

A tétel egyik alkalmazása gyökkorlát meghatározása polinomokra. Legyen ${\displaystyle p(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\dots +a_{1}x+a_{0}}$ komplex együtthatós polinom. Ez holomorf a teljes ${\displaystyle \mathbb {C} }$-n, tehát legyen ${\displaystyle G=\mathbb {C} }$. Legyen ${\displaystyle k\in \{0,1,\dots ,n\}}$ egy index, amire megoldható az

${\displaystyle |a_{k}|r^{k}>\sum _{j\neq k}|a_{j}|r^{j}}$

egyenlőtlenség legalább egy ${\displaystyle r>0}$ valós számra. Ekkor az ${\displaystyle f(x)=a_{k}x^{k}}$ és a ${\displaystyle g(x)=p(x)-f(x)}$ függvények teljesítik Rouché tételének feltételeit a B(0,r) körlapra. f különbözik nullától, és pontosan egy k-szoros gyöke van nullában. Következik, hogy a p=f+g polinomnak is multiplicitással számolva k gyöke van a B(0,r) körlapon.

Meromorf függvényekre

Legyenek az ${\displaystyle f,g}$ függvények meromorfak a ${\displaystyle G\subset \mathbb {C} }$ tartományon, és legyen ${\displaystyle B(z_{0},r)\cup \partial B(z_{0},r)\subset G}$ úgy, hogy ${\displaystyle f,g}$-nek ne legyen pólusa vagy nullhelye a körlap ${\displaystyle \partial B(z_{0},r)}$ határán; továbbá minden ${\displaystyle z\in \partial B(z_{0},r)}$ komplex számra teljesüljön, hogy:

${\displaystyle {\big |}g(z){\big |}<{\big |}f(z){\big |}}$.

Ekkor ${\displaystyle f}$ és ${\displaystyle f+g}$ esetén megegyezik a nullhelyek száma - pólushelyek száma különbség.

Bizonyítás meromorf függvényekre

Legyen ${\displaystyle h(z)=f(z)+g(z)}$. A feltételek szerint:

${\displaystyle \left|{\frac {g(z)}{f(z)}}\right|<1,\quad \forall z\in \partial B(z_{0},r)}$.

Mivel a körvonal kompakt, van neki egy ${\displaystyle U=\partial B(z_{0},r)+B(0,\epsilon )}$ környezete, amiben az egyenlőtlenség teljesül. Az f/g függvény értékeit B(0,1)-ből veszi fel, ezért:

${\displaystyle {\frac {h(z)}{f(z)}}={\frac {f(z)+g(z)}{f(z)}}=1+{\frac {g(z)}{f(z)}}\in B(1,1),\quad \forall z\in U}$.

A nyílt ${\displaystyle B(1,1)}$ körlapon értelmezve van a logaritmus holomorf főága, és:

${\displaystyle \log \left({\frac {h}{f}}\right)'={\frac {h'}{h}}-{\frac {f'}{f}}}$.

Tekintsük most a következő intervallumot:

${\displaystyle {\frac {1}{2\pi i}}\oint _{\partial B(z_{0},r)}\left({\frac {h'}{h}}-{\frac {f'}{f}}\right)dz}$.

Az integrandusnak van primitív függvénye, tehát:

${\displaystyle {\frac {1}{2\pi i}}\oint _{\partial B(z_{0},r)}\left({\frac {h'}{h}}-{\frac {f'}{f}}\right)dz=0}$.

Az argumentumelv szerint a reziduumtétel kiterjesztése is teljesül:

${\displaystyle {\frac {1}{2\pi i}}\oint _{\partial B(z_{0},r)}\left({\frac {h'}{h}}-{\frac {f'}{f}}\right)dz=(z_{h}-p_{h})-(z_{f}-p_{f})}$

ahol ${\displaystyle z_{f}}$ az ${\displaystyle f}$ függvény nullhelyeinek számát jelenti ${\displaystyle B(z_{0},r)}$-ben, és ${\displaystyle p_{f}}$ ${\displaystyle f}$ pólushelyeinek számát ${\displaystyle B(z_{0},r)}$-ben. Tehát:

${\displaystyle \,(z_{h}-p_{h})-(z_{f}-p_{f})=0}$ bzw. ${\displaystyle \,(z_{h}-p_{h})=(z_{f}-p_{f})}$

Források

Halász Gábor: Bevezetés a komplex függvénytanba

Fordítás

Ez a szócikk részben vagy egészben a Satz von Rouché című német Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.

Ez a szócikk részben vagy egészben a Rouché's theorem című angol Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.