Robert Mayer-egyenlet

A fizikában, pontosabban a termodinamikában a Robert Mayer-egyenlet megadja az izochor és izobár mólhők közötti összefüggést. Ezt ideális gáz esetén Julius Robert von Mayer vezette le a XIX. században.

A Robert Mayer-egyenlet: ${\displaystyle C_{P}-C_{V}=nR}$

ahol:

• ${\displaystyle n}$ az anyagmennyiség,
• ${\displaystyle R}$ az egyetemes gázállandó,
• ${\displaystyle C_{P}}$ az állandó nyomáson értelmezett moláris hőkapacitás,
• ${\displaystyle C_{V}}$ az állandó térfogaton értelmezett moláris hőkapacitás.

Egy mól ideális gáz esetén a kétféle moláris hőkapacitás közötti különbség az egyetemes gázállandó értékével egyenlő.

${\displaystyle C_{p}-C_{v}=R\ =8,314}$ J/mol·K

A Robert Mayer-egyenlet általánosítása

Abban az esetben, ha a gáz nem ideális, másképp néz ki az ${\displaystyle F(P,V,T)=0}$ állapotegyenlete . A termodinamika második főtétele bevezeti az entrópiát, mint állapotfüggvényt, amelynek segítségével általánosítható a Robert Mayer-egyenlet bármilyen fluidumra. Ezért a feladat visszavezetődik a mólhők kifejezésére az entrópia segítségével.

Ezeket a következőképpen fejezhetjük ki:

${\displaystyle C_{p}=\left({\frac {\partial Q}{\partial T}}\right)_{P}=T\left({\frac {\partial S}{\partial T}}\right)_{P},\qquad \qquad C_{v}=\left({\frac {\partial Q}{\partial T}}\right)_{V}=T\left({\frac {\partial S}{\partial T}}\right)_{V}\ .}$

Tekintsük az entrópiát kétváltozós függvénynek, amely a hőmérséklettől és a térfogattól függ:

${\displaystyle S(T,V)=S(T,P(T,V)).\,}$

Parciálisan deriválva a hőmérséklet szerint, alkalmazva a láncszabályt:

${\displaystyle \left({\frac {\partial S}{\partial T}}\right)_{V}=\left({\frac {\partial S}{\partial T}}\right)_{P}+\left({\frac {\partial S}{\partial P}}\right)_{T}\left({\frac {\partial P}{\partial T}}\right)_{V}}$,

Beszorozva a hőmérséklettel és alkalmazva a mólhők definícióját:

${\displaystyle C_{p}-C_{v}=-T\left({\frac {\partial S}{\partial P}}\right)_{T}\left({\frac {\partial P}{\partial T}}\right)_{V},\,}$

Felhasználva a Szabadentalpia differenciális kifejezéseinek egyikét:

${\displaystyle \left({\frac {\partial S}{\partial P}}\right)_{T}=-\left({\frac {\partial V}{\partial T}}\right)_{P},\,}$

Ehhez az egyenlethez jutunk, amelyet a Robert Mayer-egyenlet általánosításának nevezünk:

${\displaystyle C_{P}-C_{V}=T\left({\partial P \over \partial T}\right)_{V}\left({\partial V \over \partial T}\right)_{P}.}$

ahol:

• ${\displaystyle P}$ a nyomás,
• ${\displaystyle T}$ a hőmérséklet,
• ${\displaystyle V}$ a térfogat.

Látható, hogy az egyenlet jobb oldalán csak olyan mennyiségek szerepelnek, amelyek az állapotegyenletből fejezhetőek ki, ezért ha ez ismert, belőle ki lehet fejezni a szükséges mennyiségeket. Sajátos esetben ideális gázra is ismert a Gáztörvény, ebből kifejezve a megfelelő parciális deriváltakat a Robert Mayer-egyenlethez jutunk.

Ideális gáz

Az általános Robert Mayer-egyenletből kiindulva, a feladat az állapotegyenletből a megfelelő parciális deriváltak kifejezése.

Az állapotegyenlet jelen esetben a Gáztörvény:

${\displaystyle \qquad \qquad PV=nRT}$

Kifejezve a nyomást, illetve a térfogatot a hőmérséklet függvényében:

${\displaystyle \qquad \qquad P={\frac {nRT}{V}}}$ ${\displaystyle \qquad \qquad V={\frac {nRT}{P}}}$

Tudva, hogy az Anyagmennyiség állandó, kifejezve a parciális deriváltakat:

${\displaystyle \left({\partial P \over \partial T}\right)_{V}={\frac {nR}{V}}}$ ${\displaystyle \left({\partial V \over \partial T}\right)_{P}={\frac {nR}{P}}}$

Behelyettesítve az általános összefüggésbe:

${\displaystyle C_{P}-C_{V}=T{\frac {nR}{V}}{\frac {nR}{P}}}$

Felhasználva az állapotegyenletet és egyszerűsítve:

${\displaystyle C_{P}-C_{V}=T{\frac {nRnR}{nRT}}=T{\frac {nR}{T}}=nR}$

Reális gáz

Hasonlóan az ideális gáz esetéhez, felhasználva a reális gázt leíró állapotegyenletet, kifejezve a megfelelő parciális deriváltakat, eljutunk a reális gázra jellemző Robert Mayer-egyenlethez. A számítások egyszerűsítése érdekében legyen az anyagmennyiség 1mól.

Ebben az esetben az állapotegyenlet a Van der Waals-egyenlet:

Kifejezve a nyomást:

${\displaystyle P={\frac {RT}{V-b}}-{\frac {a}{V^{2}}}}$

Tudva, hogy az állapotegyenlet felfogható egy háromváltozós függvényként:${\displaystyle F(P,V,T)=0}$, fennállnak rá a következő összefüggések:

Kifejezve a nyomás megfelelő parciális deriváltjait:

${\displaystyle \left({\partial P \over \partial T}\right)_{V}={\frac {R}{V-b}}}$

${\displaystyle \left({\partial P \over \partial V}\right)_{T}={\frac {-RT}{(V-b)^{2}}}+{\frac {2a}{V^{3}}}}$

Behelyettesítve az általános összefüggésbe:

${\displaystyle C_{P}-C_{V}=T{\frac {R}{V-b}}{\frac {\frac {-R}{V-b}}{{\frac {-RT}{(V-b)^{2}}}+{\frac {2a}{V^{3}}}}}={\frac {-R^{2}TV^{3}}{-RTV^{3}+2a(V-b)^{2}}}={\frac {R}{1-{\frac {2a(V-b)^{2}}{RTV^{3}}}}}}$

Tudva, hogy az izoterm kompresszibilitási együttható:${\displaystyle \chi _{T}=-{1 \over V}\left({\partial V \over \partial P}\right)_{T}}$( ideális gáz esetén ${\displaystyle \chi _{T}={\frac {1}{P}}}$),

Az izobár hőtágulási együttható: ${\displaystyle \alpha ={1 \over V}\left({\partial V \over \partial T}\right)_{P}}$( ideális gáz esetén,${\displaystyle \alpha ={1 \over T}}$),

Az izochor nyomástényező: ${\displaystyle \beta ={1 \over P}\left({\partial P \over \partial T}\right)_{V}}$(ideális gáz esetén ${\displaystyle \beta ={\frac {1}{T}})}$.

A Robert Mayer-egyenlet felírható ezek segítségével is: ${\displaystyle C_{P}-C_{V}=T\left({\partial P \over \partial T}\right)_{V}\left({\partial V \over \partial T}\right)_{P}=TP\beta V\alpha =T\left(P\beta \right)^{2}V\chi _{T}=T{V\alpha ^{2} \over \chi _{T}}}$.

Mivel az izoterm kompresszibilitási együttható mindig pozitív, a fenti egyenletből látszik, hogy: ${\displaystyle C_{P}>C_{V}}$.

Ebből következik, hogy az adiabatikus kitevő ${\displaystyle \kappa ={\frac {c_{p}}{c_{v}}}>1}$ minden esetben.

Források

• Șerban Țițeica, Termodinamica, Editura Academiei, București, 1982
• H. B. Callen, Thermodynamics and an Introduction to Thermostatistics, J.Wiley & Sons 1960, ISBN 0471-13035-4
• Filep Emőd, Néda Árpád, Hőtan, Ábel Kiadó, Kolozsvár, 2003