Peremeloszlás

A valószínűségszámításban és statisztikában a peremeloszlások több valószínűségi változó közös eloszlásának, illetve valószínűségi vektorváltozók eloszlásának jellemzői. Jellemzőjük, hogy csak néhány valószínűségi változót, illetve koordinátáját veszi tekintetbe. Például, ha ${\displaystyle X}$ és ${\displaystyle Y}$ közös eloszlásáról van szó, ${\displaystyle X}$ és ${\displaystyle Y}$ eloszlása ennek peremeloszlásai.

Megkülönböztetik diszkrét és folytonos valószínűségi változók peremeloszlásait:

• Diszkrét peremeloszlások
• Folytonos peremeloszlások

Peremeloszlásokat lehet abszolút illetve relatív gyakoriságokra is képezni. A peremeloszlás gyakoriságai a peremgyakoriságok. Kategorikus változók esetén a kontingenciatábla pereméről olvashatók le.

Példa

A diszkrét jellemzők peremeloszlása kontingenciatáblával mutatható be. A tábla szélén sorok, oszlopok összegeként olvashatók le a peremeloszlások.

Példaként bemutatunk egy abszolút gyakoriságokat tartalmazó kontingenciatáblát. Relatív gyakoriságokat is lehetne használni.

	Fiú	Lány	Peremgyakoriságok
10. osztály	10	10	20
11. osztály	4	16	20
Peremgyakoriságok	14	26	40

A 10. osztályban a peremgyakoriságok a tanulók nemének elhanyagolásával 20. Ugyanez az eredmény a 11. osztályban, így mivel nincs több vizsgált osztály, a peremeloszlás egyenletes. Az osztályok különböző jellemzőként megmaradnak.

Vannak azonban folytonos jellemzők, melyeket nem lehet kontingenciatáblába rendezni. Ilyennek tekinthető például a testmagasság. Itt minden határ önkényes, és különféle határok meghúzása más-más eredményt adhat.^[1] A kategóriákat úgy alakítják, hogy diszjunktak legyenek. Ha a kategóriák szűkek, akkor lehet, hogy túl kevesen esnek egy kategóriába, illetve a kontingenciatábla túl nagy, áttekinthetetlen lesz. Nem javasolják a természetszerűleg folytonos valószínűségi változók diszkretizálását.

Definíció

Adva legyen egy ${\displaystyle Z=(X_{1},\dotsc ,X_{n})}$ valószínűségi vektorváltozó, és eloszlása ${\displaystyle P_{Z}}$ mint valószínűségi mérték. Ekkor a

${\displaystyle P_{X_{i}}(A):=P_{Z}(\Omega _{1}\times \dotsb \times \Omega _{i-1}\times A\times \Omega _{i+1}\times \dotsb \times \Omega _{n})}$

eloszlás ${\displaystyle Z}$ i-edik peremeloszlása. Alternatívan, úgy is definiálható, mint

${\displaystyle P_{X_{i}}(A)=P(X_{1}\in \Omega _{1},\dotsc ,X_{i-1}\in \Omega _{i-1},X_{i}\in A,X_{i+1}\in \Omega _{i+1},\dotsc ,X_{n}\in \Omega _{n})}$.

Kétdimenziós esetben, ha ${\displaystyle Z=(X,Y)}$, akkor az első peremeloszlás

${\displaystyle P_{X}(A)=P_{Z}(A\times \Omega _{2}){\text{ illetve }}P_{X}(A)=P(X\in A,Y\in \Omega _{2})}$.

Peremeloszlás definiálható minden ${\displaystyle J\subset I=\{1,\dotsc ,n\}}$ indexhalmazra. Ha ${\displaystyle |J|=m}$, akkor ezek m dimenziós peremeloszlások. Ezek definiálhatók, mint

${\displaystyle P_{X_{J}}(A)\;=\;{\begin{cases}P(X_{i}\in A_{i})&{\mbox{ha }}i\in J\\X_{i}\in \Omega _{i}&{\mbox{egyébként }}\end{cases}}}$

ahol ${\displaystyle A=\prod _{i\in J}A_{i}}$.

Elemi tulajdonságok

• Pontosan ${\displaystyle {\tbinom {n}{m}}}$ számú m dimenziós peremeloszlás létezik.
• Mértékelméleti szempontból a peremeloszlások a többdimenziós mérték vetülete egy vagy több dimenzióra.
• Ha az összes ${\displaystyle X_{i}}$ valószínűségi változó független, akkor a valószínűségi vektorváltozó eloszlása az egydimenziós peremeloszlások szorzata.

Származtatott fogalmak

Peremeloszlásfüggvények

Ha a ${\displaystyle Z}$ valószínűségi vektorváltozó eloszlásfüggvénye ${\displaystyle F_{Z}\colon \mathbb {R} ^{n}\to [0,1]}$, akkor egy peremeloszlásfüggvény a megfelelő peremeloszlás eloszlásfüggvénye. Egydimenziós esetben

${\displaystyle F_{X_{i}}(x_{i})=F_{Z}(\infty ,\dotsc ,\infty ,x_{i},\infty ,\dotsc ,\infty )}$.

Az i-edik kivételével mindegyiket végtelennel helyettesítik. Hasonlóan megy más dimenziókban is, a ${\displaystyle J}$-ben adott dimenziókat megtartják, a többit végtelennel helyettesítik. Kétdimenziós esetben, ha ${\displaystyle Z=(X,Y)}$, akkor az első peremeloszlásfüggvény

${\displaystyle F_{X}(x)=F_{Z}(x,\infty )}$.

Peremsűrűség

Az előzőhöz hasonlóan definiálhatók a peremsűrűségek. Ezek azok az ${\displaystyle f_{X_{i}}}$ függvények, melyekre

${\displaystyle F_{X_{i}}(x_{i})=\int _{-\infty }^{x_{i}}f_{X_{i}}(t)\ \mathrm {d} t}$

Ha a ${\displaystyle Z}$ valószínűségi vektorváltozó sűrűségfüggvénye ${\displaystyle f_{Z}(x_{1},\dotsc ,x_{n})}$, akkor a peremsűrűségfüggvények definiálhatók, mint

${\displaystyle f_{X_{i}}(x_{i}):=\int _{-\infty }^{\infty }\dotsi \int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }\dotsi \int _{-\infty }^{\infty }f_{Z}(x_{1},\dotsc ,x_{i-1},x_{i},x_{i+1},\dotsc ,x_{n})\ \mathrm {d} x_{1}\dotsm \mathrm {d} x_{i-1}\mathrm {d} x_{i+1}\dotsm \mathrm {d} x_{n}}$.

Az m-dimenziós esetben azokon a koordinátákon kell integrálni, amelyek nem tartoznak ${\displaystyle J}$-be. Ha ${\displaystyle Z=(X,Y)}$, akkor a peremsűrűségek

${\displaystyle f_{X}(x)=\int _{-\infty }^{\infty }f_{Z}(x,y)\ \mathrm {d} y}$

${\displaystyle f_{Y}(y)=\int _{-\infty }^{\infty }f_{Z}(x,y)\ \mathrm {d} x}$

Perem-valószínűségi tömegfüggvény

A sűrűségfüggvényekhez hasonlóan definiálhatók és számíthatók, de itt az integrált összegzés helyettesíti. Ha a ${\displaystyle Z}$ valószínűségi tömegfüggvénye ${\displaystyle f_{Z}(x_{1},\dotsc ,x_{n})}$, akkor az i-edik perem-valószínűségi tömegfüggvény

${\displaystyle f_{X_{i}}(x_{i})=\sum _{j\neq i \atop x_{j}\in \mathbb {Z} }f_{Z}(x_{1},\dotsc ,x_{n})}$.

Hasonlóan definiálható a többdimenziós eset, azokat a koordinátákat kell összegezni, amelyek nem tartoznak ${\displaystyle J}$-be. Kétdimenziós esetben, ha ${\displaystyle Z=(X,Y)}$, akkor

${\displaystyle f_{X}(x_{i})=\sum _{k\in K}f_{Z}(x_{i},y_{k})}$

${\displaystyle f_{Y}(y_{k})=\sum _{i\in I}f_{Z}(x_{i},y_{k})}$.

Példa

Legyen ${\displaystyle Z=(X,Y)}$ kétdimenziós multinomiális eloszlású, tehát ${\displaystyle Z\sim M(n,(p,1-p))}$. Ekkor ${\displaystyle Z}$ valószínűségi tömegfüggvénye

${\displaystyle f_{Z}(x,y)\;=\;{\begin{cases}{n \choose x,y}\;p^{x}(1-p)^{y}&{\mbox{ha }}x+y=n\\0&{\mbox{különben}}\end{cases}}}$,

ahol ${\displaystyle {n \choose x,y}}$ multinomiális együttható. Az ${\displaystyle y=n-x}$ helyettesítéssel

${\displaystyle f_{Z}(x,y)={n \choose x}p^{x}(1-p)^{n-x}}$.

A valószínűségi tömegfüggvény ${\displaystyle y}$-tól függetlenül is ábrázolható. Így ${\displaystyle X}$ peremsűrűsége, amit minden ${\displaystyle y}$-ra összegezve kaphatunk, újra ${\displaystyle Z}$ valószínűségi tömegfüggvényét adja, csak ${\displaystyle y}$ mint változó nélkül. Tehát az

${\displaystyle f_{X}(x)={n \choose x}p^{x}(1-p)^{n-x}}$

perem-valószínűségi tömegfüggvény binomiális eloszlású az ${\displaystyle p}$ és ${\displaystyle n}$ paraméterekkel.

Legyen most ${\displaystyle Z=(X_{1},\dotsc ,X_{m})}$ ${\displaystyle m}$ dimenziós multinomiális eloszlású, tehát ${\displaystyle Z\sim M(n,(p_{1},\dotsc ,p_{m}))}$, ahol ${\displaystyle p_{1}+\dotsb +p_{m}=1}$. Ekkor a valószínűségi tömegfüggvény

${\displaystyle f_{Z}(x_{1},\dotsc ,x_{m})\;=\;{\begin{cases}{n \choose x_{1},\dotsc ,x_{m}}\;p_{1}^{x_{1}}\dotsm p_{k}^{x_{m}}&{\mbox{ha }}x_{1},\dotsc ,x_{k}\in \mathbb {N} _{0}{\mbox{ és }}x_{1}+\dotsb +x_{m}=n\\0&{\mbox{különben}}\end{cases}}}$.

Az első peremeloszlás számításához az ${\displaystyle x_{2},x_{3},\dotsc ,x_{m}}$ változók szerint kell összegezni. A számítás egyszerűsítéséhez elvégezzük az ${\displaystyle p_{2}+\dotsb +p_{m}=1-p_{1}}$ és ${\displaystyle x_{1}=n-(x_{2}+\dotsb +x_{3})}$ csoportosításokat. A multinomiális tétellel következik, hogy a peremeloszlás binomiális lesz, az ${\displaystyle n}$ és ${\displaystyle p_{1}}$ paraméterekkel.

Kapcsolódó fogalmak

Ahhoz, hogy jellemezzenek egy többdimenziós eloszlást, nemcsak a peremeloszlást és a korrelációt kell tekintetbe venni, hanem az összefüggést más adatokkal is pontosabban kell jellemezni. A korreláció csak a lineáris függést jellemzi, emiatt használnak kopulákat és rangkorrelációkat, amelyek minden párt külön jellemeznek.

Előzetes tudás birtokában a feltételes eloszlás is meghatározható a peremeloszlások felhasználásával.

Források

• I. N. Bronstein: Taschenbuch der Mathematik. Verlag Harri Deutsch ISBN 3-8171-2006-0.
• Norbert Henze: Stochastik für Einsteiger: Eine Einführung in die faszinierende Welt des Zufalls. Vieweg+Teubner Verlag 2010, ISBN 978-3-8348-0815-8, doi:10.1007/978-3-8348-9351-2.
• Christian Hesse. Angewandte Wahrscheinlichkeitstheorie, 1., Wiesbaden: Vieweg (2003). ISBN 3-528-03183-2 

Fordítás

Ez a szócikk részben vagy egészben a Randverteilung című német Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.