Négyzetek különbsége

A matematikában a négyzetek különbsége olyan kifejezés, amelyben egy kifejezés négyzetéből egy másik kifejezés négyzete kerül kivonásra. Minden ilyen kifejezés a következő elemi algebrai azonosság alapján szorzattá alakítható:

${\displaystyle a^{2}-b^{2}=(a+b)(a-b)}$.

Bizonyítás

Algebrai

Az azonosság bizonyítása rendkívül egyszerű. A zárójel felbontása után a következőt kapjuk:

${\displaystyle (a+b)(a-b)=a^{2}+ba-ab-b^{2}}$.

A szorzás kommutativitása miatt a középső tagok kiesnek:

${\displaystyle ba-ab=0}$,

és marad az, hogy

${\displaystyle (a+b)(a-b)=a^{2}-b^{2}}$.

Ezen azonosság az egyik leggyakrabban használt a matematikában. Például egyszerűen bizonyítható segítségével a számtani és mértani közép közötti egyenlőtlenség két változó esetén.

A bizonyításból látható, hogy az azonosság bármilyen kommutatív gyűrűben igaz. Ennek megfordítása is igaz, ha egy gyűrű minden elemére igaz az azonosság, akkor a gyűrű kommutatív. Ennek bizonyítása az, hogyha minden a és b elemre fennáll, hogy

${\displaystyle (a-b)(a+b)=a^{2}+ba-ab-b^{2}=a^{2}-b^{2}}$,

akkor az csak úgy lehetséges, ha

${\displaystyle ba-ab=0}$,

amely alapján a gyűrű kommutatív.

Geometriai

A négyzetek különbsége geometriailag is illusztrálható két síkbeli négyzet területével. A képen a sötét rész szimbolizálja a két négyzet területének különbségét (azaz ${\displaystyle a^{2}-b^{2}}$). Ez a terület azonban kifejezhető két téglalap területeinek összegeként is, amelyből következik, hogy ${\displaystyle a^{2}-b^{2}=a(a-b)+b(a-b)=(a-b)(a+b)}$.

Egy másik geometriai bizonyítás a következő: az alsó ábra első képen látható állapottal kezdünk, egy nagyobb négyzet, amelyből egy kisebb négyzet ki lett vágva. A nagy négyzet oldalhossza a, a kivágott négyzet oldalhossza b. A sötét rész területe ${\displaystyle a^{2}-b^{2}}$. Egy vágás felbonthatjuk két téglalapra az ábrát, ahogy a második képen látható. A nagyobb rész szélessége a, magassága a-b. A kisebb rész szélessége a-b, magassága b. A kisebb területet forgatás után a nagyobb terület oldalához illeszthetjük. Az utolsó képen látható ez az elrendezés, amelyben egy két terület együtt egy téglalapot alkot. Ezen téglalap területe ${\displaystyle (a+b)(a-b)}$. Mivel ezen téglalap az eredeti állapot átrendezésével keletkezett, a két területnek ugyanannyinak kell lennie. Tehát ${\displaystyle a^{2}-b^{2}=(a+b)(a-b)}$.

Alkalmazás

Polinomok szorzattá alakítás és egyszerűsítés

Az azonosságot nagyon gyakran lehet polinomok szorzattá alakításához használni, például a ${\displaystyle x^{4}-1}$ kifejezés a következőképpen bontható kifejezések szorzatára:

${\displaystyle x^{4}-1=(x^{2})^{2}-1^{2}=(x^{2}+1)(x^{2}-1)=(x^{2}+1)(x-1)(x+1)}$.

A némileg bonyolultabb ${\displaystyle x^{2}-y^{2}+x-y}$ esetében is hasonlóan járhatunk el:

${\displaystyle x^{2}-y^{2}+x-y=(x+y)(x-y)+(x-y)=(x-y)(x+y+1)}$.

Továbbá kifejezések egyszerűsítésére is remekül alkalmazható az azonosság:

${\displaystyle (a+b)^{2}-(a-b)^{2}=(a+b+a-b)(a+b-a+b)=(2a)(2b)=4ab}$.

Négyzetek összege komplex számokkal

A négyzetek különbségére vonatkozó azonosságot felhasználhatjuk négyzetek összegének szorzattá alakításához komplex számok segítségével.

Például, a ${\displaystyle z^{2}+4}$ szorzattá alakítását a következőképpen végezhetjük el:

${\displaystyle z^{2}+4}$

${\displaystyle =z^{2}-i^{2}\cdot 4}$ (mivel ${\displaystyle i^{2}=-1}$)

${\displaystyle =z^{2}-(2i)^{2}}$

${\displaystyle =(z+2i)(z-2i)}$

Nevező gyöktelenítése

Az azonosság segítségével az irracionális nevezőket átalakíthatjuk racionálissá, amellyel megkönnyíthetjük a további algebrai átalakításokat.

Például, ha a ${\displaystyle {\dfrac {5}{{\sqrt {3}}+4}}}$ tört nevezőjét szeretnénk gyökteleníteni, akkor a következőképpen járhatunk el:

${\displaystyle {\dfrac {5}{{\sqrt {3}}+4}}}$

${\displaystyle ={\dfrac {5}{{\sqrt {3}}+4}}\times {\dfrac {{\sqrt {3}}-4}{{\sqrt {3}}-4}}}$

${\displaystyle ={\dfrac {5({\sqrt {3}}-4)}{({\sqrt {3}}+4)({\sqrt {3}}-4)}}}$

${\displaystyle ={\dfrac {5({\sqrt {3}}-4)}{{\sqrt {3}}^{2}-4^{2}}}}$

${\displaystyle ={\dfrac {5({\sqrt {3}}-4)}{3-16}}}$

${\displaystyle =-{\dfrac {5({\sqrt {3}}-4)}{13}}}$.

Fejszámolás

A fejszámolás is meggyorsítható, ha ismerjük az azonosságot. Ha két számot szeretnék összeszorozni, amelyeknek átlaga könnyen négyzetre emelhető, akkor érdemes alkalmazni.

Például, a ${\displaystyle 27\cdot 33}$ esetében a következőt tehetjük:

${\displaystyle 27\cdot 33=(30-3)(30+3)=30^{2}-3^{2}=900-9=891}$.

Egymást követő négyzetszámok különbsége

${\displaystyle {\begin{array}{lcl}(n+1)^{2}-n^{2}&=&((n+1)+n)((n+1)-n)\\&=&2n+1\end{array}}}$

Azaz két egymást követő négyzetszám különbsége mindig páratlan. Hasonlóan számítható két tetszőleges négyzetszám különbsége is:

${\displaystyle {\begin{array}{lcl}(n+k)^{2}-n^{2}&=&((n+k)+n)((n+k)-n)\\&=&k(2n+k)\end{array}}}$

Ebből következik, hogy két páros négyzetszám különbsége mindig osztható néggyel, és két páratlan négyzetszám különbsége mindig 8 többszöröse.

Általánosítás

Két n-edik hatvány különbsége

Az azonosság tetszőleges pozitív egész kitevőre általánosítható. Ha a és b egy kommutatív gyűrű elemei, akkor

${\displaystyle a^{n}-b^{n}=(a-b)(a^{n-1}+a^{n-2}b+a^{n-3}b^{2}+\dots +ab^{n-2}+b^{n-1})=(a-b)\left(\sum _{k=0}^{n-1}a^{n-1-k}b^{k}\right)}$.

Fordítás

• Ez a szócikk részben vagy egészben a Difference of two squares című angol Wikipédia-szócikk ezen változatának fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.