Liouville-függvény

Az L(n) Liouville-függvény összegzési függvényen = 104-ig. A jól látható oszcilláció a Riemann-féle zéta-függvény első nem triviális gyökére utal
Az L(n) Liouville-függvény összegzési függvénye n = 107-ig. Az oszcillációk skálainvariánsak

A számelméletben a Liouville-függvény egy fontos számelméleti függvény, amit Joseph Liouville-ről neveztek el. Ha n pozitív egész, akkor λ(n) definíciója:

λ ( n ) = ( − 1 ) Ω ( n ) , {\displaystyle \lambda (n)=(-1)^{\Omega (n)},\,\!}

ahol a nagy omega függvény n prímosztóinak száma multiplicitással számolva.(A008836 sorozat az OEIS-ben).

λ teljesen multiplikatív, mivel Ω(n) teljesen additív, vagyis Ω(ab) = Ω(a) + Ω(b). Az egynek nincsenek prímosztói, ezért Ω(1) = 0, így λ(1) = 1. A Liouville-függvény eleget tesz a következő azonosságnak:

∑ d | n λ ( d ) = { 1 ha  n  négyzetszám, 0 egyébként. {\displaystyle \sum _{d|n}\lambda (d)={\begin{cases}1&{\text{ha }}n{\text{ négyzetszám,}}\\0&{\text{egyébként.}}\end{cases}}}

A Liouville-függvény Dirichlet-inverze a Möbius-függvény abszolútértéke.

Sorok

A Liouville-függvény Dirichlet-sora kapcsolódik a Riemann-féle zéta-függvényhez:

ζ ( 2 s ) ζ ( s ) = ∑ n = 1 ∞ λ ( n ) n s . {\displaystyle {\frac {\zeta (2s)}{\zeta (s)}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\lambda (n)}{n^{s}}}.}

Lambert-sora:

∑ n = 1 ∞ λ ( n ) q n 1 − q n = ∑ n = 1 ∞ q n 2 = 1 2 ( ϑ 3 ( q ) − 1 ) , {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\lambda (n)q^{n}}{1-q^{n}}}=\sum _{n=1}^{\infty }q^{n^{2}}={\frac {1}{2}}\left(\vartheta _{3}(q)-1\right),}

ahol ϑ 3 ( q ) {\displaystyle \vartheta _{3}(q)} a Jacobi-féle thetafüggvény.

Megcáfolt sejtések

Az L(n) Liouville-függvény összegzési függvényének negatívjának grafikonja n = 2 × 109-ig. A zöld vonal mutatja azt a tartományt, ahol a Pólya-sejtés nem teljesül; a kék görbe az első Riemann-féle gyök hozzájárulását mutatja az oszcillációhoz

A Pólya-sejtés Pólya Györgytől származik 1919-ből. Legyen

L ( n ) = ∑ k = 1 n λ ( k ) . {\displaystyle L(n)=\sum _{k=1}^{n}\lambda (k).}

A sejtés azt állítja, hogy L ( n ) ≤ 0 {\displaystyle L(n)\leq 0} minden n > 1. Ezt azóta megcáfolták. A legkisebb ellenpélda n = 906150257, amit Minoru Tanaka fedezett fel 1980-ban. Azóta megmutatták, hogy L(n) > 0,0618672√n végtelen sok n-re,[1] míg L(n) < −1,3892783√n végtelen sok pozitív n-re.

A kapcsolódó összeg

T ( n ) = ∑ k = 1 n λ ( k ) k . {\displaystyle T(n)=\sum _{k=1}^{n}{\frac {\lambda (k)}{k}}.}

Sokáig nyitott kérdés volt, hogy T(n) ≥ 0 egy elég nagy n ≥ n0-ra. Ennek felvetését sokszor Turán Pálnak tulajdonítják, tévesen. Ezt Haselgrove cáfolta meg 1958-ban, megmutatva, hogy T(n) végtelen sokszor negatív. Az ellenkező eredmény a Riemann-sejtést is bebizonyította, ahogy Turán Pál levezette.

Jegyzetek

  1. ↑ P. Borwein, R. Ferguson, and M. J. Mossinghoff, Sign Changes in Sums of the Liouville Function, Mathematics of Computation 77 (2008), no. 263, 1681–1694.

Források

  • Polya, G. (1919). „Verschiedene Bemerkungen zur Zahlentheorie”. Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung 28, 31–40. o.  
  • (1958) „A disproof of a conjecture of Polya”. Mathematika 5, 141–145. o. DOI:10.1112/S0025579300001480. ISSN 0025-5793.  
  • (1960) „On Liouville's function”. Math. Comp. 14, 311–320. o. DOI:10.1090/S0025-5718-1960-0120198-5.  
  • (1980) „A Numerical Investigation on Cumulative Sum of the Liouville Function”. Tokyo Journal of Mathematics 3 (1), 187-189. o. DOI:10.3836/tjm/1270216093.  
  • Weisstein, Eric W.: Liouville Function (angol nyelven). Wolfram MathWorld
  • Sablon:Springer

Fordítás

  • Ez a szócikk részben vagy egészben a Liouville function című angol Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.