Lagrange-féle középértéktétel

Ez a szócikk nem tünteti fel a független forrásokat, amelyeket felhasználtak a készítése során. Emiatt nem tudjuk közvetlenül ellenőrizni, hogy a szócikkben szereplő állítások helytállóak-e. Segíts megbízható forrásokat találni az állításokhoz! Lásd még: A Wikipédia nem az első közlés helye.

A Lagrange-féle középértéktétel a matematika, ezen belül az analízis egyik fontos tétele.

A tétel állítása

Ha f folytonos függvény a zárt ${\displaystyle [a,b]}$ intervallumban és differenciálható a nyílt ${\displaystyle (a,b)}$ intervallumban, akkor van olyan ${\displaystyle a<c<b}$ szám, amire

${\displaystyle f'(c)={\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}}$

teljesül.

Ez körülbelül azt jelenti: ha húzunk egy vonalat a két végpont között, akkor lesz legalább egy pont a függvényen, aminek a deriváltja párhuzamos ezzel a vonallal.

Egy példán keresztül egyszerűbb megérteni. Autóval utaztunk egyik városból egy másikba és az átlagsebességünk 100 km/óra volt. Ahhoz, hogy pontosan ennyi legyen az átlagsebesség, vagy konstans 100 km/órával kellett mennünk, vagy pedig néha gyorsabban, néha lassabban. Ha lassabban, akkor később gyorsabban is kell mennünk, hogy az átlagsebesség valóban 100 km/óra legyen.

Ez a tétel azt mondja ki, hogy valamikor az út során kell lennie legalább egy pontnak, amikor a kocsi pontosan 100 km/órával ment - az átlagsebességével.

Bizonyítás

A tételt visszavezetjük speciális esetére, a Rolle-tételre. Legyen ${\displaystyle a\leq x\leq b}$-re

${\displaystyle g(x)=f(x)-{\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}x.}$

A g függvény nyilván folytonos az ${\displaystyle [a,b]}$ intervallumban és a belső pontokban

${\displaystyle g'(x)=f'(x)-{\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}.}$

Továbbá

${\displaystyle g(b)-g(a)=f(b)-f(a)-{\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}(b-a)=0.}$

Alkalmazhatjuk tehát Rolle tételét és kapjuk, hogy van olyan c pont amire ${\displaystyle g'(c)=0}$, azaz

${\displaystyle f'(c)={\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}.}$

Általánosítás

A Lagrange-féle középértéktétel általánosítása a Cauchy-féle középértéktétel.

A tétel magasabb dimenziókban

Legyen ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} }$ az ${\displaystyle (a,b)}$ szakaszon differenciálható függvény (${\displaystyle a,b\in \mathbb {R} ^{n}}$esetén az ${\displaystyle (a,b)}$ szakaszon az ${\displaystyle S=\{a+t(b-a)~|~t\in (0,1)\}}$ pontokat értjük). Ekkor van olyan ${\displaystyle c\in S}$, amelyre

${\displaystyle f(b)-f(a)=\langle \operatorname {grad} ~f(c),b-a\rangle }$

teljesül.

Bizonyítás

Legyen ${\displaystyle g\left(t\right)=f(a+t(b-a)),}$ egy ${\displaystyle \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} }$ függvény. Mivel ${\displaystyle g}$ differenciálható a ${\displaystyle (0,1)}$ intervallumon, ezért alkalmazhatjuk a tétel 1 dimenziós változatát, azaz ${\displaystyle \exists \theta \in (0,1)}$, hogy

${\displaystyle g\left(1\right)-g(0)=g'(\theta ).}$

g definícióját beírva:

${\displaystyle g(1)-g(0)=f(b)-f(a)=g'(\theta )=\langle \operatorname {grad} ~f(a+\theta (b-a)),b-a\rangle }$

${\displaystyle c:=a+\theta (b-a)}$ jelöléssel kapjuk a bizonyítandó állítást.