Krilov–Bogoljubov-tétel

A matematikai analízisben a Krilov–Bogoljubov-tétel (illetve az invariáns mérték létezésének tétele) alapvető fontosságú eredmény a dinamikai rendszerek elméletében. A tétel garantálja, hogy kompakt metrizálható térben egy adott függvényhez létezzen olyan Lebesgue-mérték , mely nem változtatja meg tetszőleges mérhető halmaz mértékét, ha azon az függvény ősképe hat. A tétel Nyikolaj Mitrofanovics Krilov és tanítványa, Nyikolaj Bogoljubov Kijevben tevékenykedő orosz matematikusok és elméleti fizikusok után kapta a nevét.

A tétel állítása

Ha (X,d) kompakt metrikus tér, F : X → X folytonos függvény, akkor létezik olyan μ: Borel(X) → [0, 1] valószínűségi Borel-mérték, melyre:

μ ( F − 1 ( A ) ) = μ ( A ) . {\displaystyle \mu \left(F^{-1}(A)\right)=\mu (A).}

ahol A tetszőleges Borel-halmaz.

Bizonyítás

Legyen C(X,R) = {f: X → R | „f folytonos” } és F ∈ C(X,X), de nem feltétlenül invertálható. Rögzítsünk továbbá egy x pontot X-ben.

Létezik megszámlálható sűrű halmaz C(X,R)-ben, legyen ez

{ φ m } m = 1 ∞ {\displaystyle \{\varphi _{m}\}_{m=1}^{\infty }}

Definiáljuk a következő kettős indexű sorozatot:

s n ( m ) = 1 n ∑ l = 0 n − 1 φ m ( F l ( x ) ) {\displaystyle s_{n}^{(m)}={\frac {1}{n}}\sum \limits _{l=0}^{n-1}\varphi _{m}(F^{l}(x))}

ahol Fl az F saját magával vett l-szeres függvénykompozícióját jelöli. Világos, hogy ez a sorozat korlátos, mert X kompakt. Ekkor a Bolzano–Weierstrass-tétel szerint adott m-re létezik (nk) indexsorozat, hogy:

∃ lim k → ∞ s n k ( m ) ∈ X {\displaystyle \exists \lim _{k\to \infty }s_{n_{k}}^{(m)}\in X}

Most definiálunk egy folytonos lineáris funkcionált C(X,R)-en, ami a Riesz-féle reprezentációs tétel értelmében indukál egy mértéket. Ezt egy konvergens függvénysorozat segítségével tesszük. Legyen

I ( k ) : C ( X ) → R ; I ( k ) ( φ ) = 1 n k ∑ l = 0 n k − 1 φ ( F l ( x ) ) {\displaystyle I^{(k)}:C(X)\rightarrow \mathbf {R} ;\quad I^{(k)}(\varphi )={\frac {1}{n_{k}}}\sum \limits _{l=0}^{n_{k}-1}\varphi (F^{l}(x))}

Ennek tulajdonságai:

  1. I {\displaystyle I} (k) lineáris funkcionál
  2. || I {\displaystyle I} (k)||≤1
  3. I {\displaystyle I} (k)(φm) konvergens minden m-re (tehát a {φm} sűrű halmazon)

ekkor a Banach–Steinhaus-tétel(wd) miatt a I {\displaystyle I} (k) függvénysorozat pontonként konvergens és határfüggvénye:

I ( φ ) = lim k → ∞ 1 n k ∑ l = 0 n k − 1 φ ( F l ( x ) ) {\displaystyle I(\varphi )=\lim \limits _{k\to \infty }{\frac {1}{n_{k}}}\sum \limits _{l=0}^{n_{k}-1}\varphi (F^{l}(x))}

I {\displaystyle I} tulajdonságai:

  1. folytonos lineáris funkcionál
  2. 0 ≤ φ, akkor 0 ≤ I {\displaystyle I} (φ)
  3. φ* ≡ 1, akkor I {\displaystyle I} (φ*) ≡ 1

így a reprezentációs tétel szerint létezik μ: Borel(X) → [0, 1] mérték, hogy

I ( φ ) = ∫ X φ d μ {\displaystyle I(\varphi )=\int \limits _{X}\varphi \;\mathrm {d} \mu }

Lemma. Minden φ ∈ C(X,R)-re I {\displaystyle I} (φ ∘ {\displaystyle \circ } F) = I {\displaystyle I} (φ), azaz

∫ X φ ∘ F d μ = ∫ X φ d μ {\displaystyle \int \limits _{X}\varphi \circ F\;\mathrm {d} \mu =\int \limits _{X}\varphi \;\mathrm {d} \mu }

Ugyanis a k-adik tagok különbsége a függvénysorozatban:

1 n k ∑ l = 0 n k − 1 ( φ ∘ F ) ( F l ( x ) ) − 1 n k ∑ l = 0 n k − 1 ( φ ( F l ( x ) ) = 1 n k ( φ ( F n k ( x ) ) − φ ( x ) ) → 0 {\displaystyle {\frac {1}{n_{k}}}\sum \limits _{l=0}^{n_{k}-1}(\varphi \circ F)(F^{l}(x))-{\frac {1}{n_{k}}}\sum \limits _{l=0}^{n_{k}-1}(\varphi (F^{l}(x))={\frac {1}{n_{k}}}(\varphi (F^{n_{k}}(x))-\varphi (x))\to 0}

hiszen az F eggyel eltolt hatványai kioltják egymást, csak az első és az utolsó tag marad meg.

Az invariáns mértéket elég a Borel(X) nyílt halmazain megadni. Ha U nyílt halmaz, akkor a karakterisztikus függvényét kibélelhetjük hozzá alulról konvergáló folytonos függvényekkel, melyekre a fenti egyenlőség áll, így a határfüggvényre is teljesülni fog. Világos továbbá az is, hogy:

μ ( U ) = ∫ X χ U d μ = ∫ X χ U ∘ F d μ = μ ( { z ∈ X ∣ ( χ U ∘ F ) ( z ) = 1 } ) = {\displaystyle \mu (U)=\int \limits _{X}\chi _{U}\;\mathrm {d} \mu =\int \limits _{X}\chi _{U}\circ F\;\mathrm {d} \mu =\mu (\{z\in X\mid (\chi _{U}\circ F)(z)=1\})=}
= μ ( { z ∈ X ∣ F ( z ) ∈ U } ) = μ ( F − 1 ( U ) ) {\displaystyle =\mu (\{z\in X\mid F(z)\in U\})=\mu (F^{-1}(U))}

ami ekvivalens az invarianciával.

Magyarázat

A tétel motivációja a folytonos dinamikai rendszerek pályáira vett időátlag-integrál. Legyen Φ(t,x) olyan folytonos dinamikai rendszer az X kompakt metrikus térben, mely az

x ˙ = f ( x ) {\displaystyle {\dot {x}}=f(x)\,}

differenciálegyenletből készült a megoldásgörbék összegyűjtésével. Ekkor a fenti bizonyításban lévő I {\displaystyle I} integrál-funkcionál értelme a következő. Rögzítsünk egy x pontot, és az ezen a ponton áthaladó Φ(t,x) megoldásgörbét. Az x pont választásával a Krilov–Bogoljubov-tétel által generált mérték a φ folytonos függvénynek az x ponton áthaladó megoldásra vett időátlaga:

φ ¯ ( t ) = lim T → ∞ 1 T ∫ 0 T φ ( Φ ( t , x ) ) d t = ∫ X φ d μ x {\displaystyle {\overline {\varphi }}^{(\mathrm {t} )}=\lim \limits _{T\to \infty }{\frac {1}{T}}\int \limits _{0}^{T}\varphi (\Phi (t,x))\;\mathrm {d} t=\int \limits _{X}\varphi \;\mathrm {d} \mu _{x}}

(limesz nélkül például a benzinfogyasztás átlagos mértéke egy óra, a pályán töltött idő alatt). A fenti képlet jelentést nagyjából csak akkor hordoz, hogy ha a pálya periodikus, hiszen ekkor van értelme az időátlagot a T határértékeként számolni (például a váltóáram átlagteljesítményét végtelenbe vett T-vel lehet számolni – aperiodikus váltakozás ekkor átlagolódik ki.)

Ugyanez az F folytonos leképezés által definiált Fn(x) dinamikai rendszernél az I bizonyításbeli szummás képlete:

lim k → ∞ 1 k ∑ l = 0 k − 1 φ ( F l ( x ) ) {\displaystyle \lim _{k\to \infty }\limits {\frac {1}{k}}\sum \limits _{l=0}^{k-1}\varphi (F^{l}(x))}

Források

  • PlanetMath: Krylov-Bogolyubov theorem
  • Encyclopaedia of Mathematics: Krylov–Bogolyubov method of averaging
  • Matematika Matematikaportál • összefoglaló, színes tartalomajánló lap