Konhoisz

Egyenes közös középpontú konhoiszai.
Az O rögzített középpont a piros pont, a fekete egyenes az adott egyenes, és minden színes görbepár d távolságra van az egyenes és az O középponttól húzott rádiuszvektor metszéspontjától. A kék görbe esetében d nagyobb, mint O távolsága az egyenestől, ezért a felső kék görbe hurkolt lesz. A zöld görbe esetén a két távolság egyenlő, a piros görbe esetén pedig d kisebb.

A konhoisz (konhois, konhoid, kolhois) egy olyan síkgörbe, amelyet egy másik, polárkoordinátákban adott görbéből származtatunk: a görbe rádiuszvektorát egy fix szakasszal megnyújtjuk, vagy zsugorítjuk.

Ha a görbe egyenlete r = r g ( φ ) {\displaystyle r=r_{g}(\varphi )} , és a fix szakasz a, akkor a konhoisz egyik ágának egyenlete r k = r g ( φ ) + a {\displaystyle r_{k}=r_{g}(\varphi )+a} , a másik ágé r k = r g ( φ ) − a {\displaystyle r_{k}=r_{g}(\varphi )-a} . Szokták a két ág egyenletét összevonva r k = r g ( φ ) ± a {\displaystyle r_{k}=r_{g}(\varphi )\pm a} alakban is megadni. Ha a rádiuszvektor a-nál kisebb, akkor a görbe pontjától a-val visszamérve a konhoisz-pontot az origón túl kapjuk meg.

Nikomédész-féle konhoisz

Az ókori szerzők utalásaiból sejthető, hogy a déloszi probléma megoldásának keresése közben, a neuszisz szerkesztés egyszerűsítésére készítette el az egyenes konhoiszának megrajzolására alkalmas eszközt, a konhoisz „körzőt”, s definiálta a görbét. Papposz az eredeti forrásra hivatkozva leírja a definíciót s a görbe paramétereit: az egyenes a görbe vonalzója, az a szakasz a távolsága és a fix pont (origó) a görbe pólusa. A pólus és a vonalzó távolsága a pólustávolság.

Modern szimbolikával az egyenes polárkoordinátás egyenlete: r = b ⋅ sec ⁡ ( φ ) {\displaystyle r=b\cdot \sec(\varphi )} , a konhoisz-páré r = b ⋅ sec ⁡ ( φ ) ± a {\displaystyle r=b\cdot \sec(\varphi )\pm a}

Pascal-féle csiga

A kör egyik lehetséges konhoisza adódik, ha a poláris origót a körvonal egy pontjában vesszük fel. Ekkor a b sugarú kör konhoiszának egyenlete r = b cos ⁡ ( φ ) + a {\displaystyle r=b\cos(\varphi )+a} .

Kardioid (szívgörbe)

A kardioid a Pascal csiga speciális esete, ahol: b=a. Az egyenlete r = b ( cos ⁡ ( φ ) + 1 ) {\displaystyle r=b(\cos(\varphi )+1)} .

Külső hivatkozások

  • Tankönyvtár

Források

  • J. N. Bronstein - K. A. Szemengyajev: Matematikai zsebkönyv. Műszaki könyvkiadó, Budapest, 1987. ISBN 963-10-5309-1
  • Pattantyús Gépész- és Villamosmérnökök Kézikönyve 1. kötet. Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1961.