Klotoid

A klotoid (clothoid, clothoide) - más néven Cornù-féle spirál vagy Euler-féle spirál - olyan síkgörbe, aminek ${\displaystyle P}$ pontbeli ${\displaystyle g}$ görbülete egyenesen arányos az O kezdőponttól mért ${\displaystyle s={\widehat {OP}}}$ ívhosszal: ${\displaystyle g=a\cdot s}$ .

A síkon egyenletes sebességgel haladó jármű akkor mozog klotoid pályán, ha a vezető a jármű volánját egyenletesen forgatja el. Ekkor a megtett úttal arányosan csökken a pálya simulókörének sugara, tehát az ${\displaystyle R\cdot s=a}$ fordított arányosság is jellemzi a görbét.

Elnevezése

A görög mitológiából ismert három párka egyike Klothon (Κλωθών). Neve a klothein (κλωθείν) = gombolyítani jelentésű görög szóból eredeztethető. A párkák a mítosz szerint az élet fonalának gombolyítói, s a klotoid a gombolyagra emlékeztető alakjáról kapta a nevét. Az irodalomban használt más elnevezései a görbe analízisében jelentős eredményeket elérő két tudósra utalnak:

• Leonard Euler (1707-1783) svájci matematikus a harmonikus oszcillátor vizsgálatához,
• Marie Alfred Cornù (1841-1902) francia fizikus a fény diffrakciós vizsgálatának tanulmányozásához, a Fresnel-integrálok grafikus ábrázolása során konstruálta a görbét.

Leírása

A balra kanyarodó spirált a

${\displaystyle P(t)=(x,\;y)=(k\cdot C(t),\;k\cdot S(t))}$,

a jobbra kanyarodót a

${\displaystyle P(t)=(x,\;y)=(k\cdot S(t),\;k\cdot C(t))}$,

paraméteres egyenletek írják le,

ahol:

a paraméter értelmezési tartománya: ${\displaystyle (-\infty <t<+\infty )}$,

${\displaystyle k}$: a görbe méretét meghatározó hasonlósági együttható,

a két Fresnel-integrál:

${\displaystyle C(x)=\int _{0}^{x}\cos(u^{2})\,du}$;   ${\displaystyle S(x)=\int _{0}^{x}\sin(u^{2})\,du}$.

A két ágból álló páros-spirálnak az irányítását a ${\displaystyle t}$ paraméter előjele definiálja. A koordináta-rendszer első negyedébe eső pontoknak az Origótól mért ívhossza pozitív, a harmadik negyedbe esőké negatív mértéket kap. Ugyancsak előjelezzük a pontokhoz tartozó görbületet és a görbületi sugarat: a növekvő ${\displaystyle t}$ mellett balra kanyarodó ív adott pontjában pozitív, a jobbra kanyarodónál negatív a görbület.

A kettős spirálnak az origóban inflexiós pontja van és érinti a megfelelő tengelyt. A ${\displaystyle t\to \pm \infty }$ határértékhez a görbe két aszimptotikus pontja tartozik.

Lokális adatok

A k koefficienssel adott görbén az

ívelem: ${\displaystyle ds=k{\sqrt {\cos ^{2}t^{2}+\sin ^{2}t^{2}}}=k\,dt}$,

ívhossz: ${\displaystyle s(t)={\widehat {OP}}=k\int _{0}^{t}\,dt=k\cdot t}$,

görbület: ${\displaystyle g(t)=2k^{2}\cdot t=2ks}$,

görbületi sugár: ${\displaystyle R(t)={\frac {1}{2ks}}}$,

érintő irányszöge: ${\displaystyle \vartheta =t^{2}{\text{(rad)}}}$,

a görbület és az ívhossz aránya: ${\displaystyle g(t):s(t)=2k}$.

Alkalmazása

• Az utak-vasutak egyenes és köríves szakaszának összekötésére használt átmeneti ívek egyike a megfelelően választott klotoid. Alkalmazásával az egyenes és az íves szakasz között a görbület - és ezzel a járműre ható centrifugális (tehetetlenségi) erő - egyenletesen változik.

• A hullámvasutak átfordulást biztosító hurokjánál két (rendszerint szimmetrikus) klotoid ívet használnak az előzőhöz hasonló okból.

Irodalom

• Pattantyús Gépész- és Villamosmérnökök Kézikönyve 1. kötet. Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1961.
• Bronstein – Szemengyajev: Matematikai zsebkönyv. Műszaki könyvkiadó, Budapest, 1987. ISBN 963 1053091
• Szász Pál: A differenciál- és integrálszámítás elemei (Közoktatásügyi Kiadóvállalat, 1951)
• Pach Zs. Pálné-Frey Tamás: Vektor- és tenzoranalízis, Műszaki Könyvkiadó, Budapest,1964.