Karakterisztikus részcsoport

A csoportelméletben karakterisztikus részcsoportnak nevezzük a ${\displaystyle G}$ csoport ${\displaystyle H}$ részcsoportját, ha ${\displaystyle H}$-t (mint halmazt) ${\displaystyle G}$ minden automorfizmusa fixen hagyja.

Definíció

Legyen ${\displaystyle G}$ csoport és legyen ${\displaystyle H\leq G}$. ${\displaystyle H}$-t akkor nevezzük karakterisztikus részcsoportnak, ha valahányszor ${\displaystyle \phi \in Aut\,G}$ egy automorfizmusa ${\displaystyle G}$-nek, és ${\displaystyle h\in H}$, szükségképpen ${\displaystyle \phi (h)\in H}$. Azt a tényt, hogy ${\displaystyle H}$ karakterisztikus részcsoportja ${\displaystyle G}$-nek, így jelöljük: ${\displaystyle H\;\mathrm {char} \;G}$.

Példák

• Tetszőleges csoportnak triviális karakterisztikus részcsoportja önmaga és az egyelemű csoport.
• A kvaterniócsoportnak egyetlen kételemű részcsoportja van; ez szükségképpen karakterisztikus.
• Minden topologikus csoport egységkomponense karakterisztikus.

Tulajdonságai

A „karakterisztikus részcsoportja” reláció tranzitív. Ha tehát ${\displaystyle H\;\mathrm {char} \;G}$ és ${\displaystyle G\;\mathrm {char} \;F}$, akkor ${\displaystyle H\;\mathrm {char} \;F}$. Ez azért van, mert ${\displaystyle F}$ tetszőleges automorfizmusának ${\displaystyle G}$-re való megszorítása automorfizmusa ${\displaystyle G}$-nek.

Ha ${\displaystyle H\;\mathrm {char} \;G}$, akkor szükségképpen ${\displaystyle H\triangleleft G}$, hiszen ${\displaystyle H\triangleleft G}$ éppen azt jelenti, hogy ${\displaystyle H}$-t fixen hagyják ${\displaystyle G}$ belső automorfizmusai, márpedig ha ${\displaystyle H\;\mathrm {char} \;G}$, akkor ${\displaystyle H}$-t az összes automorfizmus fixen hagyja.

Hasonlóképpen látható be az is, hogy ha ${\displaystyle H\;\mathrm {char} \;G}$ és ${\displaystyle G\triangleleft F}$, akkor ${\displaystyle H\triangleleft F}$.

${\displaystyle G}$ centruma mindig karakterisztikus ${\displaystyle G}$-ben, hiszen ha ${\displaystyle g\in G}$ a centrum eleme, akkor ${\displaystyle g}$ minden elemmel felcserélhető, ez viszont nyilván ${\displaystyle \phi (g)}$-re is igaz bármilyen ${\displaystyle \phi \in Aut\,G}$ esetén.

Források

• Pelikán József: Algebra (PDF/Postscript). Összeállította Gröller Ákos. ELTE TTK
• Rose, John S. Group Theory (angol nyelven). New York: Dover Publications (1994). ISBN 0-486-68194-7