Karakterisztikus függvény

Ez a szócikk a fogalomnak a halmazok elemeivel kapcsolatos jelentéséről szól. Hasonló címmel lásd még: Karakterisztikus függvény (valószínűségszámítás).

A matematikában a karakterisztikus függvény (vagy ritkábban: indikátorfüggvény) olyan függvény, amely azt jelzi, hogy értelmezési tartományának pontjai elemei-e egy halmaznak.

A fogalom fontos szerepet játszik a matematikai analízisben, a mértékelméletben és a kombinatorikában.

A valószínűségszámításban szerepet játszik egy másik, szintén karakterisztikus függvénynek nevezett fogalom, amelynek az itt taglaltakhoz nincs köze.

Definíció

Legyen az A halmaz az X alaphalmaz egy részhalmaza. Ekkor A karakterisztikus függvényének nevezzük az X halmaz felett azt a

${\displaystyle \mathbf {\chi } _{A}:X\to \{0,1\}\,}$

függvényt, amelyre

${\displaystyle \mathbf {\chi } _{A}(x)={\begin{cases}1,&{\mbox{ha}}\ x\in A,\\0,&{\mbox{ha}}\ x\notin A.\end{cases}}}$

Alapvető tulajdonságok

A fenti jelölésekkel

${\displaystyle \mathbf {\chi } _{X}=\mathbf {1} }$

és

${\displaystyle \mathbf {\chi } _{\emptyset }=\mathbf {0} }$,

ahol ${\displaystyle \mathbf {0} }$ jelöli az azonosan 0 függvényt, és ${\displaystyle \mathbf {1} }$ jelöli az azonosan 1 függvényt.

Legyen ${\displaystyle A}$ és ${\displaystyle B}$ az ${\displaystyle X}$ két részhalmaza. Akkor

${\displaystyle \mathbf {\chi } _{A\cap B}=\min\{\mathbf {\chi } _{A},\mathbf {\chi } _{B}\}=\mathbf {\chi } _{A}\cdot \mathbf {\chi } _{B},\,}$

${\displaystyle \mathbf {\chi } _{A\cup B}=\max\{{\mathbf {\chi } _{A},\mathbf {\chi } _{B}}\}=\mathbf {\chi } _{A}+\mathbf {\chi } _{B}-\mathbf {\chi } _{A}\cdot \mathbf {\chi } _{B}.}$

Példák

• A szignumfüggvény abszolút értéke a nemnulla valós számok karakterisztikus függvénye;
• A H₁(x) módosított Heaviside-függvény a nemnegatív valós számok karakterisztikus függvénye;
• A magyar szakirodalomban Dirichlet-függvényként ismert leképezés a racionális számok halmazának karakterisztikus függvénye a valós számok felett;

Források

• Császár Ákos: Valós analízis II. (Nemzeti Tankönyvkiadó, 1999) ISBN 963-190-114-9