Középpontos sokszögszámok

A középpontos sokszögszámok a figurális számok egy fajtája. Olyan alakzatokat jellemeznek, ahol a középpontban egy pont van, és azt sokszög alakú pontrétegek veszik körül. Adott réteg minden oldala eggyel több pontot tartalmaz, mint a korábbi réteg, így a második sokszögrétegtől kezdve egy középpontos k-szögszám minden rétege k-val több pontot tartalmaz a korábbinál.

Példák

Mindegyik sorozat előáll a háromszögszám valahányszorosához 1-et hozzáadva. Például a középpontos négyzetszámok a háromszögszám négyszerese plusz 1 képlettel állnak elő.

A sorozatok:

s.í.t.

A következő ábrák középpontos sokszögszámok vannak, megrajzolásuk folyamatát is bemutatva. Érdemes összehasonlítani a sokszögszámok cikkben található ábrákkal.

Középpontos négyzetszámok

1     5     13     25
*             *    *
 * 
*    * 		            *    *    *
 *    * 
*    *    *
 *    * 
*    *    * 		            *    *    *    *
    *    *    *    
*    *    *    *
    *    *    *    
*    *    *    *
    *    *    *    
*    *    *    *

Középpontos hatszögszámok

1     7     19     37
*             *  *
*  *  *
*  * 		            *  *  *
*  *  *  *
*  *  *  *  *
*  *  *  *
*  *  * 		            *  *  *  *
*  *  *  *  *
*  *  *  *  *  *
*  *  *  *  *  *  *
*  *  *  *  *  *
*  *  *  *  *
*  *  *  *

Képlet

Ahogy a fenti ábrákból látható, az n-edik középpontos k-szögszám megkapható, ha az (n−1)-edik háromszögszámból k másolatot helyezünk el egy középpont körül; ezért az n-edik középpontos k-szögszám kifejezhető így:

C k , n = k n 2 ( n − 1 ) + 1. {\displaystyle C_{k,n}={\frac {kn}{2}}(n-1)+1.}

Ahogy a sima sokszögszámoknál is, az első k-szögszám mindig 1. Tehát bármilyen k számra 1 egyaránt k-szögszám és középpontos k-szögszám. A következő olyan szám, ami egyaránt k-szögszám és középpontos k-szögszám a következő képlettel számolható:

k 2 2 ( k − 1 ) + 1 {\displaystyle {\frac {k^{2}}{2}}(k-1)+1}

ami szerint a 10 háromszögszám és középpontos háromszögszám, a 25 négyzetszám és középpontos négyzetszám stb.

Amíg a p prímszámok nem lehetnek sokszögszámok (eltekintve a triviális ténytől, hogy minden p a második p-szögszám), a középpontos sokszögszámok között sok prímszám található.

Jegyzetek

  • Neil Sloane & Simon Plouffe. The Encyclopedia of Integer Sequences. San Diego: Academic Press (1995) : Fig. M3826
  • Weisstein, Eric W.: Centered polygonal number (angol nyelven). Wolfram MathWorld
  • F. Tapson. The Oxford Mathematics Study Dictionary, 2nd, Oxford University Press, 88–89. o. (1999). ISBN 0-19-914-567-9 

Fordítás

  • Ez a szócikk részben vagy egészben a Centered polygonal number című angol Wikipédia-szócikk ezen változatának fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.