Köréírt kör

A P sokszög köré írt O középpontú C kör.

A geometriában egy sokszög köréírt köre (esetleg: körülírt vagy körülírható (stb.) köre) az a kör, ami a poligon összes csúcsán átmegy. Az ilyen sokszög neve húrsokszög. Minden háromszögnek van körülírható köre (húrháromszög),[1] háromnál több csúcsú poligonokra ez általában nem igaz. A húrnégyszögek közé tartoznak speciálisan a húrtrapézok, köztük a téglalapok és a négyzetek is. Azok az egyszerű sokszögek, melyek rendelkeznek köréírt körrel, mindig konvexek.

Háromszög köréírt köre

Egy háromszög köréírt körének középpontja a három oldal szakaszfelező merőlegesének közös metszéspontjában van. Ez a pont hegyesszögű háromszögnél a háromszögön belül, tompaszögűnél azon kívül van. Derékszögűnél éppen az átfogó felezőpontja (ez a Thalész-tétel). A köréírt kör középpontja egy egyenesen van a súlyponttal és a magasságponttal; ez az Euler-egyenes. A köréírt kör kerülete éppen kétszerese a Feuerbach-körének. A háromszög egy oldalának felezőmerőlegese és az adott oldallal szemközti szög felezője éppen a körül írt körön metszi egymást.

A háromszög köré írt kör középpontja

Tétel: A háromszög köré írt kör középpontja az oldalfelező merőlegeseinek metszéspontja.

Bizonyítás: A háromszög AB oldalának felező merőlegesének minden pontja egyenlő távolságra van a háromszög A és B csúcsától. Hasonlóan, a BC oldal felezőmerőlegesének minden pontja egyenlő távolságra van a B és a C csúcstól. Ezért ez a metszéspont egyenlő távolságra van mindhárom csúcstól, tehát ez a köré írt kör középpontja, és a harmadik felezőmerőleges is ezen a ponton megy át.

A középpont trilineáris koordinátái cos ⁡ α : cos ⁡ β : cos ⁡ γ {\displaystyle \cos \alpha \,:\,\cos \beta \,:\,\cos \gamma } , másként = a ( b 2 + c 2 − a 2 ) : b ( c 2 + a 2 − b 2 ) : c ( a 2 + b 2 − c 2 ) {\displaystyle =a(b^{2}+c^{2}-a^{2})\,:\,b(c^{2}+a^{2}-b^{2})\,:\,c(a^{2}+b^{2}-c^{2})} , baricentrikus koordinátái 1 2 sin ⁡ ( 2 α ) : 1 2 sin ⁡ ( 2 β ) : 1 2 sin ⁡ ( 2 γ ) {\displaystyle {\frac {1}{2}}\sin(2\alpha )\,:\,{\frac {1}{2}}\sin(2\beta )\,:\,{\frac {1}{2}}\sin(2\gamma )}

Jelölje a beírt kör sugarát r, a köré írt kör sugarát R. Ekkor a két kör középpontjának távolsága R ( R − 2 r ) {\displaystyle {\sqrt {R(R-2r)}}} .

A háromszög köré írt kör sugara

A szokásos jelölésekkel:

R = a 2 sin ⁡ α = b 2 sin ⁡ β = c 2 sin ⁡ γ {\displaystyle R={\frac {a}{2\sin \alpha }}={\frac {b}{2\sin \beta }}={\frac {c}{2\sin \gamma }}}
R = a b c 4 T {\displaystyle R={\frac {abc}{4T}}}

Szabályos sokszög köré írt kör sugara

Az a oldalhosszúságú szabályos n-szög köré írt kör sugara:

R = a 2 sin ⁡ 180 ∘ n {\displaystyle R={\frac {a}{2\sin {\frac {180^{\circ }}{n}}}}}

Jegyzetek

  1. ↑ Ez az állítás az abszolút geometriát megadó bármely axiómarendszert alapul véve, ekvivalens a párhuzamossági axiómával.

Kapcsolódó szócikkek

  • Beírt kör (sokszög)

További információk

  • Interaktív ismertető a háromszög köréírt köréről
Ez a geometriai témájú lap egyelőre csonk (erősen hiányos). Segíts te is, hogy igazi szócikk lehessen belőle!