Hiperkocka

Ez a szócikk vagy szakasz lektorálásra, tartalmi javításokra szorul. A felmerült kifogásokat a szócikk vitalapja részletezi (vagy extrém esetben a szócikk szövegében elhelyezett, kikommentelt szövegrészek). Ha nincs indoklás a vitalapon (vagy szerkesztési módban a szövegközben), bátran távolítsd el a sablont! Csak akkor tedd a lap tetejére ezt a sablont, ha az egész cikk megszövegezése hibás. Ha nem, az adott szakaszba tedd, így segítve a lektorok munkáját!

A hiperkocka a kocka általánosítása több dimenzióra: olyan konvex alakzat, amelynek bármely két éle egyforma hosszú, és vagy párhuzamos, vagy merőleges egymásra. Az egydimenziós hiperkocka a szakasz, a kétdimenziós a négyzet, a háromdimenziós a kocka.

Egy n dimenziós hiperkocka előáll 2n darab (n-1)-dimenziós hiperkocka összeillesztésével; más megközelítésben az n dimenziós hiperkocka az a terület, amelyet az (n-1)-dimenziós hiperkocka a hipersíkjára merőleges, az élhosszával azonos hosszú eltolás során súrol. A koordinátageometriában az origó középpontú, a tengelyekkel párhuzamos élű, 2d élhosszúságú hiperkocka azokat a pontokat tartalmazza, amelyek koordinátáinak a maximumnormája d és ‒d közé esik.

Konstrukció

Az a oldalhosszú kockák így konstruálhatók:

• Ha egy pontot egyenes mentén eltolunk a távolságra, akkor szakaszt kapunk, ami egydimenziós kocka.
• Ha egy a hosszú szakaszt egy rá merőleges irányban eltolunk, akkor négyzetet kapunk, ami kétdimenziós kocka.
• Ha egy a oldalhosszú négyzetet eltolunk egy olyan irányban, ami merőleges a síkjára, akkor egy háromdimenziós kockát kapunk.
• Általában, ha egy n dimenziós kockát egy rá merőleges irányban a távolságra eltolunk, akkor egy (n+1)-dimenziós kockát kapunk.

Kombinatorikus szerkezet

Az n dimenziós hiperkocka minden csúcsának n szomszédja van; a hiperkockának összesen ${\displaystyle 2^{n}}$ csúcsa, ${\displaystyle n\cdot 2^{n-1}}$ éle és általában ${\displaystyle {n \choose k}\cdot 2^{n-k}}$ k dimenziós oldala van. A négydimenziós hiperkockának például 16 csúcsa, 32 éle, 24 lapja és 8 teste van. (A képlet egy egyszerű kombinatorikai gondolatmenettel levezethető: az n dimenziós hiperkocka ${\displaystyle 2^{n}}$ csúcsának mindegyike ${\displaystyle n \choose k}$ darab k dimenziós oldalhoz tartozik, mivel a csúcs n szomszédjából k-t kiválasztva jelölhetünk ki egy ilyen oldalt. Minden oldalhoz ${\displaystyle 2^{k}}$ csúcs tartozik, így az oldalak száma ${\displaystyle {\frac {2^{n}\cdot {n \choose k}}{2^{k}}}}$.)

A különböző dimenziós oldalak száma az eltolásos konstrukcióval is belátható.

• Az eltolás minden k-ra megduplázza a k dimenziós oldalak számát.
• Minden k dimenziós oldal kiegészül (k+1)-dimenziósra.

Példa: a háromdimenziós kocka eltolással keletkezik a négyzetből.

• a négyzet oldalainak száma megduplázódik
• a négyzet csúcsai élekké egészülnek ki

Így a kockának 2·4+4 éle van.

	Az oldalak száma
	0-dim.	1-dim.	2-dim.	3-dim.	4-dim.	5-dim.	${\displaystyle \ldots }$	(n-1)-dim.
Szakasz	2
Négyzet	4	4
3-dim. kocka	8	12	6
4-dim. kocka	16	32	24	8
5-dim. kocka	32	80	80	40	10
6-dim. kocka	64	192	240	160	60	12
${\displaystyle \vdots }$
n-dim. kocka	${\displaystyle 2^{n}}$	${\displaystyle n2^{n-1}}$	${\displaystyle n(n-1)2^{n-3}}$	${\displaystyle \ldots }$	${\displaystyle \ldots }$	${\displaystyle \ldots }$	${\displaystyle \ldots }$	${\displaystyle 2n}$

Megjelenése a kultúrában

Képzőművészetben

• Tony Robbin kockaélek forgatásával és tükrözésével olyan szituációkat ábrázolt rajzban és szobrokon, amik csak egy magasabb dimenzióban lehetségesek.
• Manfred Mohr kompozícióiban olyan vonalakat jelenített meg, amelyek egy háromnál több szabadságfokú térbeli logikát követnek.
• Frank Richter grafikáiban és szobraiban több, mint három térdimenziós konstellációk matematikai szabályait adta vissza.
• Salvador Dalí egy képén (Corpus Hypercubus, 1954) egy négydimenziós hiperkocka kiterített hálója előtt ábrázolja a megfeszített Jézust.

Építészet

• A Grande Arche épülete Párizs La Défense negyedében

Irodalomban és filmen

• Andrzej Sekula Kocka 2: Hiperkocka filmjében a szereplők egy hiperkockában mozognak a tér és az idő dimenzióiban.
• Robert A. Heinlein az And He Built a Crooked House című novellájában egy olyan házról ír, ami egy hiperkockából áll.
• Christopher Nolan Interstellar című filmjének a végén a főszereplő egy hiperkockába zuhan fekete lyukba történő lépését követően. A kockában átalakulnak a tér és idő törvényei, ezáltal kommunikálni tud a gravitációt használva a lányával a múltban.

Galéria

• 
  Négydimenziós hiperkocka előállítása eltolással.
• 
  Egy forgó hiperkocka perspektivikus háromdimenziós vetülete.
• 
  Egy hatdimenziós hiperkocka merőleges vetülete.

Lásd még

• Negyedik dimenzió
• Hiperkockagráf

További információk

A Wikimédia Commons tartalmaz Hiperkocka témájú médiaállományokat.

• A magasabb dimenziós kockák elemi geometriájához – Marcus Gossler: Praxis der Mathematik, 1986
• Az n dimenziós hiperkocka (PDF, ca. 900 kB) – 22. Basler Kolloquium für Mathematiklehrkräfte von Hans Walser, vom 19. November 2003
• Hiperkockák és hipergömbök Archiválva 2007. május 25-i dátummal a Wayback Machine-ben
• Kiterjesztett táblázat a határolóelemekről Archiválva 2007. november 29-i dátummal a Wayback Machine-ben
• Animált hiperkocka (Java)
• http://www.4d-screen.de/related-space - négy-, öt-, hat- és hétdimenziós hiperkockák (Java)
• Négydimenziós hiperkocka képes konstrukciója
• Négydimenziós tetrisz^{[halott link]}