Hadamard-szorzat

Nem tévesztendő össze a következővel: Mátrixszorzás.

A matematikában a Hadamard-szorzat, más néven Schur-szorzat vagy elemenkénti szorzat egy kétváltozós művelet, aminek tényezői azonos dimenziójú mátrixok. A szorzatban álló elemek a tényezők megfelelő elemeinek szorzatai. Nevét a francia Jacques Hadamard vagy a német Issai Schur matematikusok után kapta. Jelölése ${\displaystyle \circ }$ szimbólummal történik.

Definíció

Legyenek A és B ugyanolyan dimenziójú, m×n-es mátrixok. Ekkor A és B Hadamard-szorzata, A∘B is m×n-es mátrix, és

${\displaystyle (A\circ B)_{i,j}=(A)_{i,j}\cdot (B)_{i,j}}$.

Kifejtve:

${\displaystyle A\circ B={\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}&a_{m2}&\cdots &a_{mn}\\\end{pmatrix}}\circ {\begin{pmatrix}b_{11}&b_{12}&\cdots &b_{1n}\\b_{21}&b_{22}&\cdots &b_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\b_{m1}&b_{m2}&\cdots &b_{mn}\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}a_{11}\cdot b_{11}&a_{12}\cdot b_{12}&\cdots &a_{1n}\cdot b_{1n}\\a_{21}\cdot b_{21}&a_{22}\cdot b_{22}&\cdots &a_{2n}\cdot b_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}\cdot b_{m1}&a_{m2}\cdot b_{m2}&\cdots &a_{mn}\cdot b_{mn}\\\end{pmatrix}}}$

Nem azonos méretű mátrixokra a Hadamard-szorzást nem értelmezzük.

Tulajdonságai

• Kommutatív (a közönséges mátrixszorzástól eltérően): ${\displaystyle A\circ B=B\circ A,}$
• Asszociatív: ${\displaystyle A\circ (B\circ C)=(A\circ B)\circ C,}$
• Disztributív a mátrixok összeadására: ${\displaystyle A\circ (B+C)=A\circ B+A\circ C.}$

• Identitásmátrixa az m×n-es mátrixok halmazán az az m×n-es mátrix, aminek minden eleme 1. Ez különbözik a szokásos identitásmátrixtól. Egy mátrix Hadamard-invertálható, ha egyik eleme sem nulla.^[1]

• A ${\displaystyle D_{x}}$ és a ${\displaystyle D_{y}}$ átlós mátrixokra, és főátlójukra mint ${\displaystyle x}$ és ${\displaystyle y}$ vektorokra teljesül:^[2]

${\displaystyle x^{*}(A\circ B)y=\mathrm {tr} (D_{x}^{*}AD_{y}B^{T})}$,

ahol ${\displaystyle x^{*}}$ az ${\displaystyle x}$ adjungáltja. Általában, csupa egy vektorokkal megmutatható, hogy a Hadamard-szorzat elemeinek összege egyenlő AB^T nyomával. Négyzetes A és B mátrixok Hadamard-szorzatának sorösszege éppen az AB^T főátlóján álló elemei:^[3]

${\displaystyle \sum _{j}(A\circ B)_{i,j}=(AB^{T})_{i,i}}$.

• A Hadamard-szorzat a Kronecker-szorzat principális részmátrixa.

Schur szorzástétele

Pozitív szemidefinit mátrixok Hadamard-szorzata is pozitív szemidefinit.^[3] Ez „Schur szorzástétele” néven ismert.^[1] Sőt, ha A és B pozitív szemidefinit, akkor

${\displaystyle \det(A\circ B)\geq \det(A)\det(B).\,}$^[3]

Programozási nyelvekben

A Hadamard-szorzást egyes programozási nyelvek beépítetten tartalmazzák. A MATLAB nyelvben a .* számítja.^[4] Fortranban és Mathematicában egyszerűen a * jelöli, míg a közönséges mátrixszorzat rendre a matmul függvénnyel, illetve . jellel számítható. Pythonban a sympy szimbolikus matematikai függvénytár tartalmazza, az array() adattípushoz kapcsolódóan, míg a közönséges mátrixszorzáshoz a mátrix (matrix)osztályt kell használni. A kettő között beépített konverziókkal lehet váltani. Az Eigen C++ függvénytár rendszere hasonló. R-ben a Hadamard-szorzat alapértelmezett, a mátrixszorzás a matrix.A%*%matrix.B alakban valósítható meg.

Alkalmazása

A Hadamard-szorzatot veszteséges tömörítő algoritmusok használják, például a JPEG.

Jegyzetek