Hányadostest

Az absztrakt algebrában hányadostestnek nevezzük az olyan testet, amelyet egy integritástartomány elemeiből alkotott rendezett párokból képezünk, hasonlóan ahhoz, ahogy a racionális számok testét az egész számok integritási tartományából származtatjuk.

Motiváció

A racionális számok teste kézenfekvő módon származtatható az egész számok integritási tartományából a következő eljárással:

1. A racionális számokból rendezett párokat formálunk, kikötve, hogy e rendezett párok második eleme nem lehet 0. (Ezek megfelelnek a szokásos törtszámoknak.)
2. Ezután a rendezett párok közül ekvivalensnek nevezzük azokat, amelyek (mint törtszámok) ugyanarra az alakra egyszerűsíthetők. Például a ${\displaystyle (6,42)}$ ekvivalens az ${\displaystyle (5,35)}$-tel, mert a ${\displaystyle {\frac {6}{42}}}$ és a ${\displaystyle {\frac {5}{35}}}$ egyaránt ${\displaystyle {\frac {1}{7}}}$-re egyszerűsödik.
3. A keletkező ekvivalenciaosztályokon értelmezzük az összeadást és a szorzást úgy, hogy a műveleteket az ekvivalenciaosztályokat reprezentáló elemeken hajtjuk végre. Például az ${\displaystyle (1,2)}$-t tartalmazó ekvivalenciaosztály és a ${\displaystyle (3,4)}$-et tartalmazó ekvivalenciaosztály összege az ${\displaystyle (5,4)}$-et tartalmazó ekvivalenciaosztály, szorzata pedig a ${\displaystyle (3,8)}$-at tartalmazó ekvivalenciaosztály. Hasonló példa, amelyben az egyszerűsítés lehetősége is fellép: ${\displaystyle (1,6)+(1,3)=(3,6)=(1,2)}$, és ${\displaystyle (1,6)(1,3)=(1,18)}$.
4. Konstatáljuk, hogy ezek a műveletek jól definiáltak, konzisztens kiterjesztései az egész számokon definiált szorzásnak és összeadásnak, és az így keletkezett struktúra test.

A hányadostest konstrukciója ennek az eljárásnak az általánosítása tetszőleges integritási tartományra.

A hányadostest konstrukciója

Legyen ${\displaystyle \mathbb {I} }$ egy integritási tartomány és jelölje ${\displaystyle \mathbb {T} ^{*}}$ az ${\displaystyle \mathbb {I} }$ elemeiből alkotott ${\displaystyle (a,b)}$ rendezett párok halmazát, ahol kikötjük, hogy ${\displaystyle b\neq 0}$. ${\displaystyle \mathbb {T} ^{*}}$ elemein definiálunk egy ~ ekvivalenciarelációt: azt mondjuk, hogy ${\displaystyle (a,b)\sim (c,d)}$ akkor és csak akkor, ha ${\displaystyle ad=bc}$ (az ${\displaystyle \mathbb {I} }$-ben értelmezett szorzással). Az ekvivalenciaosztályok halmazát ${\displaystyle \mathbb {T} }$-vel, az (a,b)-t tartalmazó ekvivalenciaosztályt ${\displaystyle a \over b}$-vel jelöljük.

A konstrukció végső lépését az az észrevétel adja, hogy ${\displaystyle \mathbb {T} }$ elemei testet alkotnak az alábbi műveletekkel:

1. Tetszőleges ${\displaystyle {a \over b},\,{c \over d}\in \mathbb {T} }$-re ${\displaystyle {a \over b}*{c \over d}={\frac {ac}{bd}}}$. Az így definiált szorzás egységeleme az ${\displaystyle a \over a}$ ekvivalenciaosztály (tetszőleges ${\displaystyle a\neq 0}$ elemre).
2. Tetszőleges ${\displaystyle {a \over b},\,{c \over d}\in \mathbb {T} }$-re ${\displaystyle {a \over b}+{c \over d}={\frac {ad+bc}{bd}}}$. Az így definiált összeadás nulleleme a ${\displaystyle 0 \over a}$ ekvivalenciaosztály (tetszőleges ${\displaystyle a\neq 0}$ elemre).
3. Tetszőleges ${\displaystyle {a \over b}\in \mathbb {T} }$ additív inverze ${\displaystyle {\frac {-a}{b}}}$.
4. Ha ${\displaystyle a\neq 0}$, ${\displaystyle {a \over b}\in \mathbb {T} }$ multiplikatív inverze ${\displaystyle {\frac {b}{a}}}$.

Az így konstruált ${\displaystyle \mathbb {T} }$ testet ${\displaystyle \mathbb {I} }$ hányadostestének nevezzük.

Vegyük észre, hogy ${\displaystyle \mathbb {I} }$-ben nem feltétlenül van egységelem, de ez nem befolyásolja a konstrukciót. Konkrét példaként ha ${\displaystyle \mathbb {I} =2\mathbb {Z} }$, a páros számok integritástartománya, akkor a keletkező ${\displaystyle \mathbb {T} }$ hányadostest a racionális számok teste, amelyben ${\displaystyle {\frac {2}{2}}}$ az egységelem.

Tulajdonságai

${\displaystyle \mathbb {T} }$ tartalmazza ${\displaystyle \mathbb {I} }$ izomorf képét (${\displaystyle a\leftrightarrow {a \over 1}}$ természetes megfeleltetést ad ${\displaystyle a\in \mathbb {I} }$ és ${\displaystyle {a \over 1}\in \mathbb {T} }$) között. ${\displaystyle \mathbb {T} }$ a legszűkebb olyan test, amelybe ${\displaystyle \mathbb {I} }$ beágyazható.

${\displaystyle \mathbb {I} }$ (az izomorfizmus erejéig) egyértelműen meghatározza ${\displaystyle \mathbb {T} }$-t. Ennek megfordítása általában nem igaz: egy test előállhat több különböző integritási tartomány hányadostesteként is. (Például a racionális számok teste hányadosteste az egész számoknak is és a páros számoknak is.) Speciálisan minden test hányadosteste saját magának (mint integritástartománynak).

${\displaystyle \mathbb {I} }$ és ${\displaystyle \mathbb {T} }$ karakterisztikája megegyezik. Ha ${\displaystyle \mathbb {I} }$ végtelen, akkor ${\displaystyle \mathbb {I} }$ és ${\displaystyle \mathbb {T} }$ számossága is megegyezik, hiszen ${\displaystyle \mathbb {T} }$ számosságának alsó korlátja ${\displaystyle \mathbb {I} }$ számossága, és felső korlátja az ${\displaystyle \mathbb {I} }$ elemeiből képzett rendezett párok halmazának számossága, amely végtelen halmazok esetén megegyezik ${\displaystyle \mathbb {I} }$ számosságával.

Példák

• Amint feljebb láttuk, ha ${\displaystyle \mathbb {I} =\mathbb {Z} }$, akkor ${\displaystyle \mathbb {T} =\mathbb {Q} }$.
• Egy test feletti polinomgyűrű hányadosteste a racionális törtkifejezések teste.

Általánosítások

A hányadostest-konstrukció speciális esete a lokalizációnak: ebben a konstrukcióban a nevezőkben az elemeknek csak egy multiplikatívan zárt részhalmazát engedjük meg. A lokalizáció integritási tartományok helyett bármely kommutatív gyűrűre értelmezhető. Ha az imént említett részhalmaz a gyűrű összes nemzéróosztójából áll, akkor teljes hányadosgyűrűről beszélünk. Speciálisan egy integritási tartomány teljes hányadosgyűrűje a hányadostest.^[1]

Jegyzetek

Források

• Pelikán József: Algebra (PDF/Postscript). Összeállította Gröller Ákos. ELTE TTK
• ↑ Stacks: A Stacks project szerzői: The Stacks project. stacks.math.columbia.edu (2021)

További információk

• Kiss Emil: Bevezetés az algebrába. dtk.tankonyvtar.hu (2011) arch Digitális Tankönyvtár.