Euler–Maclaurin-képlet

Az Euler–Maclaurin-képlet vagy formula kapcsolatot teremt az integrál és az összeg között. A formulát egymástól függetlenül fedezte fel Leonhard Euler és Colin Maclaurin 1735 körül. A formula alkalmazható végtelen vagy véges összegek becsléséhez, illetve integrálok értékének közelítő meghatározásához.

A formula

A képlet a következő alakot ölti:

∑ k = p m − 1 f ( k ) = ∫ p m f ( t ) d t + ∑ v = 1 n − 1 B v v ! ( f ( v − 1 ) ( m ) − f ( v − 1 ) ( p ) ) + R n {\displaystyle \sum \limits _{k=p}^{m-1}{f\left(k\right)}=\int _{p}^{m}{f\left(t\right)}dt+\sum \limits _{v=1}^{n-1}{\frac {B_{v}}{v!}}\left({f^{\left({v-1}\right)}\left(m\right)-f^{\left({v-1}\right)}\left(p\right)}\right)+R_{n}}

Itt B v {\displaystyle B_{v}} a Bernoulli-féle számokat, R n {\displaystyle R_{n}} pedig a maradéktagot jelöli. A Bernoulli-polinomok felhasználásával a maradéktag így írható:

R n = − 1 n ! ∫ 0 1 ( B n ( t ) − B n ) ∑ k = p m − 1 f ( n ) ( k + 1 − t ) d t {\displaystyle R_{n}=-{\frac {1}{n!}}\int _{0}^{1}{\left({B_{n}\left(t\right)-B_{n}}\right)}\sum \limits _{k=p}^{m-1}{f^{\left(n\right)}}\left({k+1-t}\right)dt}

Ha n páros, akkor szokás a képletet a következő alakban is megadni:

∑ k = p m − 1 f ( k ) = C + ∫ p m f ( t ) d t + ∑ k = 1 2 s − 2 B k k ! f ( k − 1 ) ( m ) + θ B 2 s ( 2 s ) ! f ( 2 s − 1 ) ( m ) , 0 < θ < 1 {\displaystyle \sum \limits _{k=p}^{m-1}f\left(k\right)=C+\int _{p}^{m}{f\left(t\right)}dt+\sum \limits _{k=1}^{2s-2}{\frac {B_{k}}{k!}}f^{\left({k-1}\right)}\left(m\right)+\theta {\frac {B_{2s}}{\left({2s}\right)!}}f^{\left({2s-1}\right)}\left(m\right),\quad 0<\theta <1}

Alkalmazás

A képlet alkalmazásával f(x) = ln(x) helyettesítéssel például eljuthatunk a Stirling-formuláig:

ln ⁡ ( x ! ) = ( x + 1 2 ) ln ⁡ x − x + 1 2 ln ⁡ ( 2 π ) + ∑ k = 1 ∞ B 2 k 2 k ( 2 k − 1 ) x 2 k − 1 {\displaystyle \ln \left({x!}\right)=\left({x+{\frac {1}{2}}}\right)\ln x-x+{\frac {1}{2}}\ln \left({2\pi }\right)+\sum \limits _{k=1}^{\infty }{\frac {B_{2k}}{2k\left({2k-1}\right)x^{2k-1}}}}

A formula segítségével Euler a következő aszimptotikus sort találta a harmonikus sor részletösszegére:

∑ k = 1 n 1 k = ln ⁡ ( n ) + C + 1 2 n − ∑ i = 1 ∞ B 2 i 2 i 1 n 2 i {\displaystyle \sum \limits _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}}=\ln \left(n\right)+C+{\frac {1}{2n}}-\sum \limits _{i=1}^{\infty }{\frac {B_{2i}}{2i}}{\frac {1}{n^{2i}}}}

A C számot Euler-féle konstansnak nevezzük, értéke körülbelül 0,5772156649.

Irodalom

Springer Online Reference Works – http://eom.springer.de/