Eisenstein-egész

Az Eisenstein-egészek (Euler-egészek) az a + b ω {\displaystyle a+b\omega } alakú komplex számok, ahol a, b egész számok és

ω = − 1 2 + 3 2 i {\displaystyle \omega =-{\frac {1}{2}}+{\frac {\sqrt {3}}{2}}i}

az „első” harmadik egységgyök.

Könnyen látható, hogy az összeadás és a kivonás nem vezet ki az Eisenstein-egészek köréből. A szorzás sem, mivel ω 2 = − ω − 1 {\displaystyle \omega ^{2}=-\omega -1} . Az Eisenstein-egészek így Z [ ω ] {\displaystyle {\mathbf {Z} }[\omega ]} -val jelölt gyűrűt alkotnak.

Az Eisenstein-egészek algebrai egész számok, ezek a Q ( − 3 ) = { a + b ω : a , b ∈ Q } {\displaystyle {\mathbf {Q} }({\sqrt {-3}})=\{a+b\omega :a,b\in {\mathbf {Q} }\}} számtestbe eső algebrai egészek.

Norma

Az a + b ω {\displaystyle a+b\omega } Eisenstein-egészhez hozzárendeljük az

N ( a + b ω ) = ( a + b ω ) ( a + b ω 2 ) = a 2 − a b + b 2 {\displaystyle N(a+b\omega )=(a+b\omega )(a+b\omega ^{2})=a^{2}-ab+b^{2}}

normát. Ez mindig nemnegatív egész szám és csak a = b = 0 {\displaystyle a=b=0} esetén 0. Továbbá multiplikatív, azaz N ( x y ) = N ( x ) N ( y ) {\displaystyle N(xy)=N(x)N(y)} mindig teljesül.

Egységek, asszociáltak, Eisenstein-prímek

Hat Eisenstein-egész normája egy: 1 , − 1 , ω , − ω , ω 2 , − ω 2 {\displaystyle 1,-1,\omega ,-\omega ,\omega ^{2},-\omega ^{2}} . Ezek az egységek, tehát azok az Eisenstein-egészek, amelyek minden Eisenstein-egész osztói. Ha két Eisenstein-egész egymást kölcsönösen osztja, akkor egység szorzóban térnek el, ezeket egymás asszociáltjainak nevezzük. 1 − ω {\displaystyle 1-\omega } Eisenstein-prím és 3 = − ω 2 ( 1 − ω ) 2 {\displaystyle 3=-\omega ^{2}(1-\omega )^{2}} . Ha p közönséges prím és p ≡ 2 ( mod 3 ) {\displaystyle p\equiv 2{\pmod {3}}} akkor Eisenstein-prím is. Ha p közönséges prím és p ≡ 1 ( mod 3 ) {\displaystyle p\equiv 1{\pmod {3}}} akkor p = π π ¯ {\displaystyle p=\pi {\overline {\pi }}} egy alkalmas π {\displaystyle \pi } Eisenstein-prímre. Így például, 7 = ( 3 + ω ) ( 2 − ω ) {\displaystyle 7=(3+\omega )(2-\omega )} .

Egyértelmű prímfaktorizáció

Az Eisenstein-egészek körében igaz a maradékos osztás tétele, így Z [ ω ] {\displaystyle {\mathbf {Z} }[\omega ]} euklideszi gyűrű: ha a , b ∈ Z [ ω ] {\displaystyle a,b\in {\mathbf {Z} }[\omega ]} , b ≠ 0 {\displaystyle b\neq 0} akkor létezik q {\displaystyle q} és r {\displaystyle r} , hogy a = b q + r {\displaystyle a=bq+r} és N ( r ) < N ( b ) {\displaystyle N(r)<N(b)} . Innen adódik, hogy Z [ ω ] {\displaystyle {\mathbf {Z} }[\omega ]} -ban igaz a számelmélet alaptétele is: a felbonthatatlan elemek (azon π {\displaystyle \pi } nemnulla, nemegység elemek, amelyekre igaz, hogy π = x y {\displaystyle \pi =xy} esetén x vagy y asszociáltja π {\displaystyle \pi } -nek) azonosak a prímelemekkel, azaz Eisenstein-prímekkel (azon π {\displaystyle \pi } nemnulla, nemegység elemek, amelyekre igaz, hogy π ∣ x y {\displaystyle \pi \mid xy} esetén π ∣ x {\displaystyle \pi \mid x} vagy π ∣ y {\displaystyle \pi \mid y} teljesül) és minden 0-tól és egységtől különböző x felírható x = π 1 ⋯ π r {\displaystyle x=\pi _{1}\cdots \pi _{r}} alakban, ahol π 1 , … , π r {\displaystyle \pi _{1},\dots ,\pi _{r}} prímelemek, továbbá, ha x = ρ 1 ⋯ ρ s {\displaystyle x=\rho _{1}\cdots \rho _{s}} egy másik felírás, akkor s = r {\displaystyle s=r} és a tényezők úgy indexezhetők, hogy j=1,…,r-re ρ j {\displaystyle \rho _{j}} asszociáltja π j {\displaystyle \pi _{j}} -nek.

Lásd még

Források

Freud-Gyarmati: Számelmélet

  • matematika Matematikaportál • összefoglaló, színes tartalomajánló lap