Csebisev-polinomok

A matematikában a Csebisev-polinomok olyan ortogonális polinomsorozatok, melyek kapcsolatban állnak a De Moivre képlettel, és amelyeket rekurzív módon lehet definiálni. Nevüket Pafnutyij Lvovics Csebisev orosz matematikus után kapták. Általában különbséget tesznek elsőfajú Csebisev-polinomok (jelölés T_n), illetve másodfajú Csebisev-polinomok között (jelölés U_n).

A T_n, és az U_n Csebisev-polinomok n-ed fokúak, és bármelyik fajta Csebisev-polinomok sorozata polinomsorozatot alkot.

A T_n Csebisev-polinomok a lehető legnagyobb vezető együtthatóval rendelkeznek, figyelembe véve azt a tényt, hogy abszolút értékük a [-1,1] intervallumon kötve van az 1 által.

A Csebisev-polinomok fontos szerepet játszanak a közelítő módszerek elméletében, mivel az elsőfajú Csebisev-polinomok gyökeit, melyeket Csebisev-csomópontoknak is hívnak, csomópontokként használják a polinomiális interpolációnál. Az így kapott interpolációs polinom minimalizálja a Runge-hatásból származó problémát.

A differenciálegyenletek területén a Csebisev-differenciálegyenletek megoldásaként találunk rájuk:

${\displaystyle \left(1-x^{2}\right)y''-xy'+n^{2}y=0}$

és

${\displaystyle \left(1-x^{2}\right)y''-3xy'+n(n+2)y=0}$

Az első egyenletből kapjuk T_n-t, míg a másodikból U_n-t. Ezek az egyenletek a Sturm-Liouville differenciálegyenletek speciális esetei.

Definíciók

Az elsőfajú Csebisev-polinomokat a következő rekurenciás összefüggés definiálja:

${\displaystyle {\begin{aligned}T_{0}(x)&=1\\T_{1}(x)&=x\\T_{n+1}(x)&=2xT_{n}(x)-T_{n-1}(x).\end{aligned}}}$

A megszokott generátorfüggvény T_n-re:

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }T_{n}(x)t^{n}={\frac {1-tx}{1-2tx+t^{2}}};}$

Az exponenciális generátorfüggvény:

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }T_{n}(x){\frac {t^{n}}{n!}}={\tfrac {1}{2}}\left(e^{\left(x-{\sqrt {x^{2}-1}}\right)t}+e^{\left(x+{\sqrt {x^{2}-1}}\right)t}\right)=e^{tx}\cosh \left(t{\sqrt {x^{2}-1}}\right).}$

A kétdimenziós potenciálelmélet területén releváns generátorfüggvény:

${\displaystyle \sum \limits _{n=1}^{\infty }T_{n}(x){\frac {t^{n}}{n}}=\ln {\frac {1}{\sqrt {1-2tx+t^{2}}}}.}$

A másodfajú Csebisev-polinomokat a következő rekurenciás összefüggés definiálja:

${\displaystyle {\begin{aligned}U_{0}(x)&=1\\U_{1}(x)&=2x\\U_{n+1}(x)&=2xU_{n}(x)-U_{n-1}(x).\end{aligned}}}$

A megszokott generátorfüggvény U_n-re:

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }U_{n}(x)t^{n}={\frac {1}{1-2tx+t^{2}}};}$

Az exponenciális generátorfüggvény:

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }U_{n}(x){\frac {t^{n}}{n!}}=e^{tx}\left(\cosh \left(t{\sqrt {x^{2}-1}}\right)+{\frac {x}{\sqrt {x^{2}-1}}}\sinh \left(t{\sqrt {x^{2}-1}}\right)\right).}$

Kapcsolatok az első- illetve másodfajú Csebisev-polinomok között

Az első- illetve másodfajú Csebisev-polinomok megfelelnek a Lucas sorozat egy kiegészítő párjának Ṽ_n(P,Q) és Ũ_n(P,Q), P = 2x és Q = 1 paraméterekkel:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\tilde {U}}_{n}(2x,1)&=U_{n-1}(x),\\{\tilde {V}}_{n}(2x,1)&=2\cdot T_{n}(x).\end{aligned}}}$

Két kölcsönös rekurenciás összefüggést is kielégítenek:

${\displaystyle {\begin{aligned}T_{n+1}(x)&=xT_{n}(x)-(1-x^{2})U_{n-1}(x),\\U_{n}(x)&=xU_{n-1}(x)+T_{n}(x).\end{aligned}}}$

Az első- illetve másodfajú Csebisevpolinomokat a következő összefüggések is összekapcsolják:

${\displaystyle {\begin{aligned}T_{n}(x)&={\tfrac {1}{2}}{\big (}U_{n}(x)-U_{n-2}(x){\big )}.&&\\T_{n}(x)&=U_{n}(x)-x\,U_{n-1}(x).&&\\U_{n}(x)&=2\sum _{{\text{odd }}j}^{n}T_{j}(x)&&{\text{páratlan }}n.\\U_{n}(x)&=2\sum _{{\text{even }}j}^{n}T_{j}(x)-1&&{\text{páros }}n.\end{aligned}}}$

Explicit kifejezések

A Csebisev-polinomok meghatározásának különböző megközelítései különböző explicit kifejezésekhez vezetnek, mint például:

${\displaystyle {\begin{aligned}T_{n}(x)&={\begin{cases}\cos(n\arccos x)&|x|\leq 1\\\\{\frac {1}{2}}{\bigg (}{\Big (}x-{\sqrt {x^{2}-1}}{\Big )}^{n}+{\Big (}x+{\sqrt {x^{2}-1}}{\Big )}^{n}{\bigg )}\qquad &|x|\geq 1\\\end{cases}}\\\\\\&={\begin{cases}\cos(n\arccos x)&-1\leq x\leq 1\\\\\cosh(n\operatorname {arcosh} x)&1\leq x\\(-1)^{n}\cosh {\big (}n\operatorname {arcosh} (-x){\big )}\qquad &x\leq -1\\\end{cases}}\\\\\\T_{n}(x)&=\sum _{k=0}^{\left\lfloor {\frac {n}{2}}\right\rfloor }{\binom {n}{2k}}\left(x^{2}-1\right)^{k}x^{n-2k}\\&=x^{n}\sum _{k=0}^{\left\lfloor {\frac {n}{2}}\right\rfloor }{\binom {n}{2k}}\left(1-x^{-2}\right)^{k}\\&={\tfrac {n}{2}}\sum _{k=0}^{\left\lfloor {\frac {n}{2}}\right\rfloor }(-1)^{k}{\frac {(n-k-1)!}{k!(n-2k)!}}~(2x)^{n-2k}\qquad n>0\\&=n\sum _{k=0}^{n}(-2)^{k}{\frac {(n+k-1)!}{(n-k)!(2k)!}}(1-x)^{k}\qquad n>0\\&={}_{2}F_{1}\left(-n,n;{\tfrac {1}{2}};{\tfrac {1}{2}}(1-x)\right)\\\end{aligned}}}$

${\displaystyle x^{n}=2^{1-n}\mathop {{\sum }'} _{j=0,n-j{\text{ páros}}}^{n}{\binom {n}{\tfrac {n-j}{2}}}T_{j}(x),}$

ahol a szummajel alapja azt jelzi, hogy a j = 0 hozzájárulását felezni kell, ha megjelenik.

${\displaystyle {\begin{aligned}U_{n}(x)&={\frac {\left(x+{\sqrt {x^{2}-1}}\right)^{n+1}-\left(x-{\sqrt {x^{2}-1}}\right)^{n+1}}{2{\sqrt {x^{2}-1}}}}\\&=\sum _{k=0}^{\left\lfloor {\frac {n}{2}}\right\rfloor }{\binom {n+1}{2k+1}}\left(x^{2}-1\right)^{k}x^{n-2k}\\&=x^{n}\sum _{k=0}^{\left\lfloor {\frac {n}{2}}\right\rfloor }{\binom {n+1}{2k+1}}\left(1-x^{-2}\right)^{k}\\&=\sum _{k=0}^{\left\lfloor {\frac {n}{2}}\right\rfloor }{\binom {2k-(n+1)}{k}}~(2x)^{n-2k}&&n>0\\&=\sum _{k=0}^{\left\lfloor {\frac {n}{2}}\right\rfloor }(-1)^{k}{\binom {n-k}{k}}~(2x)^{n-2k}&&n>0\\&=\sum _{k=0}^{n}(-2)^{k}{\frac {(n+k+1)!}{(n-k)!(2k+1)!}}(1-x)^{k}&&n>0\\&=(n+1)\ {}_{2}F_{1}\left(-n,n+2;{\tfrac {3}{2}};{\tfrac {1}{2}}(1-x)\right)\\\end{aligned}}}$

ahol ₂F₁ hipergeometrikus függvény.

Példák

Elsőfajú

Az első néhány elsőfajú Csebisev-polinom  A028297

${\displaystyle {\begin{aligned}T_{0}(x)&=1\\T_{1}(x)&=x\\T_{2}(x)&=2x^{2}-1\\T_{3}(x)&=4x^{3}-3x\\T_{4}(x)&=8x^{4}-8x^{2}+1\\T_{5}(x)&=16x^{5}-20x^{3}+5x\\T_{6}(x)&=32x^{6}-48x^{4}+18x^{2}-1\\T_{7}(x)&=64x^{7}-112x^{5}+56x^{3}-7x\\T_{8}(x)&=128x^{8}-256x^{6}+160x^{4}-32x^{2}+1\\T_{9}(x)&=256x^{9}-576x^{7}+432x^{5}-120x^{3}+9x\\T_{10}(x)&=512x^{10}-1280x^{8}+1120x^{6}-400x^{4}+50x^{2}-1\\T_{11}(x)&=1024x^{11}-2816x^{9}+2816x^{7}-1232x^{5}+220x^{3}-11x\end{aligned}}}$

Másodfajú

Az első néhány másodfajú Csebisev-polinom  A053117

${\displaystyle {\begin{aligned}U_{0}(x)&=1\\U_{1}(x)&=2x\\U_{2}(x)&=4x^{2}-1\\U_{3}(x)&=8x^{3}-4x\\U_{4}(x)&=16x^{4}-12x^{2}+1\\U_{5}(x)&=32x^{5}-32x^{3}+6x\\U_{6}(x)&=64x^{6}-80x^{4}+24x^{2}-1\\U_{7}(x)&=128x^{7}-192x^{5}+80x^{3}-8x\\U_{8}(x)&=256x^{8}-448x^{6}+240x^{4}-40x^{2}+1\\U_{9}(x)&=512x^{9}-1024x^{7}+672x^{5}-160x^{3}+10x\end{aligned}}}$

Források

• (1995) „A Note on Some Peculiar Nonlinear Extremal Phenomena of the Chebyshev Polynomials”. Proceedings of the Edinburgh Mathematical Society 38, 343–355. o. DOI:10.1017/S001309150001912X.  
• (1964) „The evaluation and estimation of the coefficients in the Chebyshev Series expansion of a function”. Math. Comp. 18, 274–284. o. DOI:10.1090/S0025-5718-1964-0166903-7.  
• (1994) „An Extremal Problem For Polynomials”. Proceedings of the American Mathematical Society 122, 191–193. o. DOI:10.1090/S0002-9939-1994-1207536-1.  
• (2001) „Chebyshev's approximation algorithms and applications”. Comp. Math. Applic. 41, 433–445. o.  
• (1984) „Some properties and applications of Chebyshev polynomial and rational approximation”. Lect. Not. Math. 1105, 27–48. o. DOI:10.1007/BFb0072398.  
• Chebyshev Polynomials. Taylor & Francis (2002) 
• (2006) „Chebyshev series expansion of inverse polynomials”. J. Comput. Appl. Math. 196, 596–607. o. DOI:10.1016/j.cam.2005.10.013.  
• Remes, Eugene: On an Extremal Property of Chebyshev Polynomials
• (1976) „Converting interpolation series into Chebyshev Series by Recurrence Formulas”. Math. Comp. 30, 295–302. o. DOI:10.1090/S0025-5718-1976-0395159-3.  
• (1969) „The Solution of integral equations in Chebyshev series”. Math. Comput. 23, 837–844. o. DOI:10.1090/S0025-5718-1969-0260224-4.  
• (1966) „Algorithm 277, Computation of Chebyshev series coefficients”. Comm. ACM 9, 86–87. o. DOI:10.1145/365170.365195.