Csebisev-függvény

A matematikában a Csebisev-függvény a Csebisevről elnevezett két függvény egyike. Az első Csebisev-függvény a ϑ(x) vagy θ(x) definíciója

${\displaystyle \vartheta (x)=\sum _{p\leq x}\log p}$

ahol az összegzés az x-nél nem nagyobb prímekre megy.

A második Csebisev-függvény definíciója hasonló, de az összegzés az összes x-nél nem nagyobb prímhatványt magában foglalja:

${\displaystyle \psi (x)=\sum _{p^{k}\leq x}\log p=\sum _{n\leq x}\Lambda (n)=\sum _{p\leq x}\lfloor \log _{p}x\rfloor \log p,}$

ahol ${\displaystyle \Lambda }$ a von Mangoldt-függvény. A Csebisev-függvények, különösen a ψ(x) második Csebisev-függvény gyakran hasznosnak bizonyulnak a prímekhez kapcsolódó problémákban, mivel egyszerűbb velük számolni, mint a prímszámláló π(x) függvénnyel.

Mindkettő aszimptotikus x-hez, ami a prímszámtétellel ekvivalens.

Kapcsolatuk

A második Csebisev-függvény kifejezhető, mint

${\displaystyle \psi (x)=\sum _{p\leq x}k\log p}$

ahol k az az egész, amire p^k ≤ x, és x < p^k+1. A k értékek sorozata  A206722. A következő egy még közvetlenebb kapcsolatot fejez ki:

${\displaystyle \psi (x)=\sum _{n=1}^{\infty }\vartheta \left(x^{1/n}\right).}$

Jegyezzük meg, hogy ez utóbbi összegben véges sok tag kivételével mindegyik nulla:

${\displaystyle \vartheta \left(x^{1/n}\right)=0{\text{ ha }}n>\log _{2}x\ ={\frac {\log x}{\log 2}},.}$

A második Csebisev-függvény az 1-től n-ig terjedő egészek legkisebb közös többszörösének logaritmusa:

${\displaystyle \operatorname {lcm} (1,2,\dots ,n)=e^{\psi (n)}.}$

Az n függvényében a  ${\displaystyle \operatorname {lcm} (1,2,\dots ,n)}$  sorozat az  A003418 sorozat.

Aszimptotika és korlátok

A következő képletekben a p_k a k-adik pozitív prímet jelöli. A Csebisev-függvényre a következő korlátok ismertek:Sablon:RefSablon:Ref

${\displaystyle \vartheta (p_{k})\geq k\left(\ln k+\ln \ln k-1+{\frac {\ln \ln k-2.050735}{\ln k}}\right)}$ ${\displaystyle k\geq 10^{11},}$-re

${\displaystyle \vartheta (p_{k})\leq k\left(\ln k+\ln \ln k-1+{\frac {\ln \ln k-2}{\ln k}}\right)}$ k ≥ 198-ra,

${\displaystyle |\vartheta (x)-x|\leq 0.006788{\frac {x}{\ln x}}}$ minden x ≥ 10,544,111-re,

${\displaystyle |\psi (x)-x|\leq 0.006409{\frac {x}{\ln x}}}$ minden x ≥ exp(22)-re,

${\displaystyle 0.9999{\sqrt {x}}<\psi (x)-\vartheta (x)<1.00007{\sqrt {x}}+1.78{\sqrt[{3}]{x}}}$ minden ${\displaystyle x\geq 121.}$-re.

Továbbá, a Riemann-hipotézis teljesülése esetén

${\displaystyle |\vartheta (x)-x|=O(x^{1/2+\varepsilon })}$

${\displaystyle |\psi (x)-x|=O(x^{1/2+\varepsilon })}$

minden ${\displaystyle \varepsilon >0}$-ra.

Mindkét függvényre ismertek felső korlátok is, így^[1]

${\displaystyle \vartheta (x)<1.01624x}$

${\displaystyle \psi (x)<1.03883x}$

minden ${\displaystyle x>0}$-ra. Az 1,03883 magyarázatát az  A206431 adja meg.

Egzakt képletek

1895-ben Hans Carl Friedrich von MangoldtSablon:Ref explicit kifejezte a ${\displaystyle \psi (x)}$ függvényt a Riemann-féle zéta-függvény nem triviális gyökeinek összegeként:

${\displaystyle \psi _{0}(x)=x-\sum _{\rho }{\frac {x^{\rho }}{\rho }}-{\frac {\zeta '(0)}{\zeta (0)}}-{\frac {1}{2}}\log(1-x^{-2}).}$

ahol ζ'(0)/ζ(0) értéke log(2π), ${\displaystyle \rho }$ befutja a zéta-függvény nem triviális gyökeit, és ψ₀ éppen a ψ, kivéve, hogy átugorja annak szakadási helyeit a prímhatványoknál, és ezeken a helyeken a két határérték számtani közepét veszi fel:

${\displaystyle \psi _{0}(x)={\frac {1}{2}}\left(\sum _{n\leq x}\Lambda (n)+\sum _{n<x}\Lambda (n)\right)={\begin{cases}\psi (x)-{\frac {1}{2}}\Lambda (x)&x=2,3,4,5,7,8,9,11,13,16,\dots \\\psi (x)&{\mbox{otherwise.}}\end{cases}}}$

A logaritmus Taylor-sora szerint az utolsó tag tekinthető, mint ${\displaystyle x^{\omega }/{\omega }}$ összege a Riemann-féle zéta-függvény triviális gyökei, a negatív egészek fölött:

${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }{\frac {x^{-2k}}{-2k}}={\frac {1}{2}}\log(1-x^{-2}).}$

Hasonlóan, az első tag x = x¹/1 megfelel a Riemann-féle zéta-függvény elsőrendű pólusának az 1 helyen. Mivel nem gyök, hanem pólus, azért negatív előjellel szerepel az összegben.

Tulajdonságok

Erhard Schmidt egy tétele szerint egy rögzített pozitív egész K-ra végtelen sok olyan x létezik, amire

${\displaystyle \psi (x)-x<-K{\sqrt {x}}}$

és végtelen sok x, hogy

${\displaystyle \psi (x)-x>K{\sqrt {x}}.}$Sablon:RefSablon:Ref

A kis ordo jelöléssel

${\displaystyle \psi (x)-x\neq o\left({\sqrt {x}}\right).}$

Hardy és LittlewoodSablon:Ref eredménye erősebb:

${\displaystyle \psi (x)-x\neq o\left({\sqrt {x}}\log \log \log x\right).}$

Kapcsolat a primoriálokkal

Az első Csebisev-függvény x primoriáljának logaritmusa, amit x# jelöl:

${\displaystyle \vartheta (x)=\sum _{p\leq x}\log p=\log \prod _{p\leq x}p=\log(x\#).}$

Ez bizonyítja, hogy az x# primoriál aszimptotikusan egyenlő exp((1+o(1))x)-szel, ahol "o" a kis ordo jelölés, és a prímszámtétellel együtt bizonyítja p_n# aszimptotikus viselkedését.

Kapcsolat a prímszámláló függvénnyel

A Csebisev-függvények kapcsolatba hozhatók a prímszámláló függvénnyel. Legyen

${\displaystyle \Pi (x)=\sum _{n\leq x}{\frac {\Lambda (n)}{\log n}}.}$

Ekkor

${\displaystyle \Pi (x)=\sum _{n\leq x}\Lambda (n)\int _{n}^{x}{\frac {dt}{t\log ^{2}t}}+{\frac {1}{\log x}}\sum _{n\leq x}\Lambda (n)=\int _{2}^{x}{\frac {\psi (t)\,dt}{t\log ^{2}t}}+{\frac {\psi (x)}{\log x}}.}$

Az áttérés ${\displaystyle \Pi }$-ről ${\displaystyle \pi }$-reó a következő egyenlettel lehetséges:

${\displaystyle \Pi (x)=\pi (x)+{\frac {1}{2}}\pi (x^{1/2})+{\frac {1}{3}}\pi (x^{1/3})+\cdots .}$

Mivel ${\displaystyle \pi (x)\leq x}$, azért a legutóbbi reláció írható, mint

${\displaystyle \pi (x)=\Pi (x)+O({\sqrt {x}}).}$

A Riemann-hipotézis

A Riemann-hipotézis szerint a Riemann-féle zéta-függvény nem triviális gyökeinek valós része 1/2. Ekkor ${\displaystyle |x^{\rho }|={\sqrt {x}}}$, és megmutatható, hogy

${\displaystyle \sum _{\rho }{\frac {x^{\rho }}{\rho }}=O({\sqrt {x}}\log ^{2}x).}$

A fentiek szerint ebből következik, hogy

${\displaystyle \pi (x)=\operatorname {li} (x)+O({\sqrt {x}}\log x).}$

Alain Connes és társai úgy próbálták igazolni a hipotézist, hogy deriválták a von Mangoldt-formulát x szerint, ahol x = exp(u). A Hamilton-operátor exponenciálisának nyom képletét véve

${\displaystyle \zeta (1/2+i{\hat {H}})|n\geq \zeta (1/2+iE_{n})=0,\,}$

${\displaystyle \sum _{n}e^{iuE_{n}}=Z(u)=e^{u/2}-e^{-u/2}{\frac {d\psi _{0}}{du}}-{\frac {e^{u/2}}{e^{3u}-e^{u}}}=\operatorname {Tr} (e^{iu{\hat {H}}}),}$

ahol a trigonometrikus összeg tekinthető az ${\displaystyle e^{iu{\hat {H}}}}$ operátor nyomának, ami csak akkor igaz, ha ${\displaystyle \rho =1/2+iE(n).}$

A H = T + V hatványának félklasszikus megközelítésével:

${\displaystyle {\frac {Z(u)u^{1/2}}{\sqrt {\pi }}}\sim \int _{-\infty }^{\infty }e^{i(uV(x)+\pi /4)}\,dx}$

ahol Z(u) → 0 as u → ∞. A ${\displaystyle V^{-1}(x)\approx {\sqrt {(}}4\pi ){\frac {d^{1/2}N(x)}{dx^{1/2}}}}$ egy megoldása ennek a nemlineáris integrálegyenletnek, a

${\displaystyle \pi N(E)=Arg\xi (1/2+iE)}$

hatvány inverzének a kiszámításával.

Simító függvény

A simító függvény definíciója

${\displaystyle \psi _{1}(x)=\int _{0}^{x}\psi (t)\,dt.}$

Belátható, hogy

${\displaystyle \psi _{1}(x)\sim {\frac {x^{2}}{2}}.}$

Variációszámítás

A Csebisev-függvény az x = exp(t) helyen minimalizálja az

${\displaystyle J[f]=\int _{0}^{\infty }{\frac {f(s)\zeta '(s+c)}{\zeta (s+c)(s+c)}}\,ds-\int _{0}^{\infty }\!\!\!\int _{0}^{\infty }e^{-st}f(s)f(t)\,ds\,dt,}$

funkcionált, így

${\displaystyle f(t)=\psi (e^{t})e^{-ct},\,}$

c > 0 -ra.

Jegyzetek

Források

• Apostol, Tom M. (1976), Introduction to analytic number theory, Undergraduate Texts in Mathematics, New York-Heidelberg: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90163-3
• Weisstein, Eric W.: Chebyshev functions (angol nyelven). Wolfram MathWorld
• Mangoldt summatory function a PlanetMath oldalain
• Chebyshev functions a PlanetMath oldalain
• Riemann's Explicit Formula

Fordítás

• Ez a szócikk részben vagy egészben a Chebyshev function című angol Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.