Csúsztatva tükrözés

A geometriában a csúsztatva tükrözés az egybevágósági transzformációk egy fajtája. A síkban egy tengelyes tükrözés és egy eltolás szorzata; a térben egy síkra tükrözés és egy eltolás szorzata. Általában, a legalább kétdimenziós V vektortérben egy altérre való tükrözés és egy eltolás szorzata. Mindezek a transzformációk választhatók úgy, hogy a tükrözés tengelye és az eltolásvektor párhuzamosak legyenek. A tükrözések speciális csúsztatva tükrözésnek tekinthetőek, ahol az eltolásvektor a nullvektor.

Szerepe a diszkrét geometriában, a parkettázások és a kristályok szimmetriáinak osztályozásában, valamint a frízcsoportok vizsgálatában fontos. A járás szimmetriája is csúsztatva tükrözés. Mindezek mellett még az életjátékokban is megjelenik.

Tulajdonságai

• a síkbeli csúsztatva tükrözés három tengelyes tükrözés szorzataként, ahol a három tengely háromszöget zár közre
• általában három altérre vett tükrözés szorzataként kapható meg
• a tükrözés és az eltolás felcserélhető
• nincsenek fixpontjai
• egyetlen invariáns alakzata a párhuzamos felbontás tengelye
• a körüljárási irányt megfordítja
• egy csúsztatva tükrözés négyzete eltolás: ugyanis az első tényezőben az eltolást, a másodikban a tükrözést előrevéve a kétszeri tükrözés identitást ad, így csak az eltolás marad

Tércsoportok

A diszkrét tércsoportokban csak olyan transzformációk lehetnek, amik összeegyeztethetőek a megfelelő kristályráccsal. Mivel a csúsztatva tükrözés négyzete eltolás, ezért csak a táblázatban leírt csúsztatva tükrözések lehetnek egy tércsoport elemei:

Leírás	A tükörsíkra merőleges irány	Eltolásvektor	Hermann-Mauguin-szimbólum
Tengelyirányú tükrözési sík	[010]; [001]	${\displaystyle {\frac {1}{2}}{\vec {a}}}$	a
	${\displaystyle [001];[100]}$	${\displaystyle {\frac {1}{2}}{\vec {b}}}$	b
	${\displaystyle [100];[010]}$	${\displaystyle {\frac {1}{2}}{\vec {c}}}$	c
	${\displaystyle [1{\bar {1}}0];[110]}$
	${\displaystyle [100];[010];[{\bar {1}}{\bar {1}}0]}$
	${\displaystyle [1{\bar {1}}0];[120];[{\bar {2}}{\bar {1}}0]}$
Átlós irányú tükrözési sík	${\displaystyle [001];[100];[010]}$	${\displaystyle {\frac {1}{2}}({\vec {a}}+{\vec {b}})\,;\,{\frac {1}{2}}({\vec {b}}+{\vec {c}})\,;\,{\frac {1}{2}}({\vec {a}}+{\vec {c}})}$	n
	${\displaystyle [1{\bar {1}}0];[01{\bar {1}}];[{\bar {1}}01]}$	${\displaystyle {\frac {1}{2}}({\vec {a}}+{\vec {b}}+{\vec {c}})}$
	${\displaystyle [110];[011];[101]}$	${\displaystyle {\frac {1}{2}}(-{\vec {a}}+{\vec {b}}+{\vec {c}})\,;\,{\frac {1}{2}}({\vec {a}}-{\vec {b}}+{\vec {c}})\,;\,{\frac {1}{2}}({\vec {a}}+{\vec {b}}-{\vec {c}})}$
Tetraéderes tükrözési sík	${\displaystyle [001];[100];[010]}$	${\displaystyle {\frac {1}{4}}(-{\vec {a}}\pm {\vec {b}})\,;\,{\frac {1}{4}}({\vec {b}}\pm {\vec {c}})\,;\,{\frac {1}{4}}(\pm {\vec {a}}+{\vec {c}})}$	d
	${\displaystyle [1{\bar {1}}0];[01{\bar {1}}];[{\bar {1}}01]}$	${\displaystyle {\frac {1}{4}}({\vec {a}}+{\vec {b}}\pm {\vec {c}})\,;\,{\frac {1}{4}}(\pm {\vec {a}}+{\vec {b}}+{\vec {c}})\,;\,{\frac {1}{4}}({\vec {a}}\pm {\vec {b}}+{\vec {c}})}$
	${\displaystyle [110];[011];[101]}$	${\displaystyle {\frac {1}{4}}(-{\vec {a}}+{\vec {b}}\pm {\vec {c}})\,;\,{\frac {1}{4}}(\pm {\vec {a}}-{\vec {b}}+{\vec {c}})\,;\,{\frac {1}{4}}({\vec {a}}\pm {\vec {b}}+-{\vec {c}})}$

Egyszerűen bizonyítható, hogy mindezek a csúsztatva tükrözések eleget tesznek a négyzetükkel szemben támasztott követelményeknek. A tetraéderes csúsztatva tükrözések csak a lapközepes ortotrombikus, a térközepes tetragonális és a lapközepes bravaisrácsok szimmetriái között jelennek meg. Itt a centráltságról is tartalmaznak információt, ami négyzetre emeléssel kinyerhető; ugyanis az így kapott eltolásvektor már közvetlenül mutatja a centráltságot.

Életjáték

A csúsztatva tükrözés a járás szimmetriája. A Conway-féle életjátékban is sok szerkezet mozog csúsztatva tükrözéssel. A glider, a LWSS, az MWSS és az HWSS minden második lépésben önmaga csúsztatott tükörképévé válik. Íme egy kis űrhajó:

Források

• Schwarzenbach D. Kristallographie, Springer Verlag, Berlin 2001, ISBN 3-540-67114-5
• https://web.archive.org/web/20160304093420/http://zeus.nyf.hu/~mattan/faliujsag/Fejezetek_geombol3.pdf
• Matematika és geometria az építészetben