Centrális momentum

Egy valószínűségi változó centrális momentumai vagy centrált momentumai több, a változó eloszlását jellemző számértéket is takarnak. Általánosan az X valószínűségi változó k-adik centrális momentuma bármely k pozitív egész szám esetén az E((X – E(X))^k) által felvett értékként határozható meg (feltéve, hogy ez az érték létezik), ahol E(X) az X várható értékét jelöli. Ha nincs várható érték, mint a Cauchy-eloszlás esetén, akkor centrális momentumok sincsenek.

Az X valószínűségi változó k-adik centrális momentumának jelölését tekintve a szakirodalom nem egységes. Sok esetben – a várható értéktől, szórástól, ferdeségtől, vagy lapultságtól eltérően – nem szoktak külön jelölést bevezetni, hanem kiírják az E((X – E(X))^k)-t. Bizonyos – főként régebbi – könyvekben találkozhatunk a μ_k = E((X – E(X))^k) jelöléssel, míg más könyvekben ugyanezzel a momentumot jelölik, s m_k-val jelölik a centrális momentumot. Egyaránt definiálhatók egy- és többváltozós eloszlásokra.

Egyváltozós momentumok

Abszolút folytonos eloszlás esetén, ha f(x) a sűrűségfüggvény, akkor az n-edik centrális momentum

${\displaystyle \mu _{n}=\operatorname {E} \left[(X-\operatorname {E} [X])^{n}\right]=\int _{-\infty }^{+\infty }(x-\mu )^{n}f(x)\,\mathrm {d} x.}$^[1]

Az első néhány momentumnak intuitív értelmezése van:

• A nulladik centrális momentum μ₀ = 1.
• Az első centrális momentum nem a várható érték, hanem μ₁ = 0.
• A második centrális momentum μ₂ = σ², szórásnégyzet vagy variancia.
• A harmadik és a negyedik centrális momentumokat a ferdeség és a lapultság kiszámításához használják.

Tulajdonságok

A centrális momentumok eltolásinvariánsak, azaz minden X valószínűségi változóra és c tetszőleges konstansra

${\displaystyle \mu _{n}(X+c)=\mu _{n}(X).\,}$

Minden n-re, az n-edik centrális momentum n-edfokban homogén:

${\displaystyle \mu _{n}(cX)=c^{n}\mu _{n}(X).\,}$

Ha n = 1, 2 vagy 3, akkor az X és Y független változók esetén a momentum additív:

${\displaystyle \mu _{n}(X+Y)=\mu _{n}(X)+\mu _{n}(Y)\,}$ ha n ∈ {1, 2, 3}.

Az eltolásinvarianciát és additivitást n ≥ 4 esetén az n-edik kumuláns őrzi meg, aminek jele κ_n(X).

• n = 1 esetén a kumuláns a várható érték.
• n = 2 vagy 3 esetén a kumuláns megegyezik a megfelelő centrális momentummal.
• n ≥ 4 esetén a kumuláns az első n momentum (a nulladik nélkül) n-edfokú polinomja, és az első n centrális momentumnak is n-edfokú polinomja.

A centrális és a nem centrális momentumok kapcsolata

Néha kényelmesebb nem centrális momentumok helyett centrális momentumokkal számolni. A centrális momentumra való áttérés egyenlete:

${\displaystyle \mu _{n}=\mathrm {E} \left[\left(X-\mathrm {E} \left[X\right]\right)^{n}\right]=\sum _{j=0}^{n}{n \choose j}(-1)^{n-j}\mu '_{j}\mu ^{n-j},}$

ahol μ a várható érték. Megfordítva, a nem centrális momentum:

${\displaystyle \mu '_{m}=\int _{-\infty }^{+\infty }x^{m}f(x)\,dx=\mathrm {E} \left[X^{m}\right]=\sum _{j=0}^{m}{m \choose j}\mu _{j}\mu ^{m-j}.}$

Az n = 2, 3, 4 esetben ez így módosul:

${\displaystyle \mu _{2}=\mu '_{2}-\mu ^{2}\,}$

hagyományosabb jelöléssel a szórásnégyzet ${\displaystyle \mathrm {Var} \left(X\right)=\mathrm {E} \left[X^{2}\right]-\left(\mathrm {E} \left[X\right]\right)^{2}}$

Továbbá

${\displaystyle \mu _{3}=\mu '_{3}-3\mu \mu '_{2}+2\mu ^{3}\,}$

${\displaystyle \mu _{4}=\mu '_{4}-4\mu \mu '_{3}+6\mu ^{2}\mu '_{2}-3\mu ^{4}.\,}$

Az együtthatók a Pascal-háromszög alapján adhatók meg,^[2]

${\displaystyle \mu _{5}=\mu '_{5}-5\mu \mu '_{4}+10\mu ^{2}\mu '_{3}-10\mu ^{3}\mu '_{2}+4\mu ^{5}.\,}$

mivel ${\displaystyle 5\mu ^{4}\mu '_{1}-\mu ^{5}\mu '_{0}=5\mu ^{4}\mu -\mu ^{5}=5\mu ^{5}-\mu ^{5}=4\mu ^{5}}$

Legyen ${\displaystyle W}$ egy valószínűségi változó, ami megkapható néhány azonos eloszlású független valószínűségi változó összegeként:

${\displaystyle W=\sum _{i=1}^{M}Y_{i}}$

ahol ${\displaystyle M}$ szintén valószínűségi változó, és független az Y_i valószínűségi változóktól, de eloszlása különbözhet azokétól. Ekkor ${\displaystyle W}$ momentumai:^[3]

${\displaystyle \mathrm {E} \left[W^{n}\right]=\sum _{i=0}^{n}\mathrm {E} \left[{M \choose i}\right]\sum _{j=0}^{i}{i \choose j}(-1)^{i-j}\mathrm {E} [(\sum _{k=1}^{j}Y_{k})^{n}],}$

ahol ${\displaystyle \mathrm {E} [(\sum _{k=1}^{j}Y_{k})^{n}]=0}$ ha ${\displaystyle j=0}$.

Szimmetrikus eloszlások

A szimmetrikus eloszlások páratlan rendű centrális momentumai nullák, mivel az összegben a várható értéknél kisebb értékekből számított tagok és a várható értéknél nagyobb értékekből számított tagok kiejtik egymást.

Többdimenziós centrális momentumok

Egy kétváltozós közös eloszlás (j,k)-adik centrális momentumai, ha a közös sűrűségfüggvény f(x,y):

${\displaystyle \mu _{j,k}=\operatorname {E} \left[(X-\operatorname {E} [X])^{j}(Y-\operatorname {E} [Y])^{k}\right]=\int _{-\infty }^{+\infty }\int _{-\infty }^{+\infty }(x-\mu _{X})^{j}(y-\mu _{Y})^{k}f(x,y)\,dx\,dy.}$

További momentumok

A valószínűségszámításban és a matematikai statisztikában más momentumok is előfordulnak, ezek közül a legfontosabbak:

• momentum,
• abszolút momentum,
• abszolút centrális momentum és
• faktoriális momentum.

Megjegyzések

• A k-adik centrális momentum kifejezés helyett szokás k-ad rendű centrális momentumot is használni.

• Látható, hogy a második centrális momentum azonos a szórásnégyzettel, vagyis a centrális momentum tekinthető a szórásnégyzet általánosításának is.

Jegyzetek

Források

• Bognár J.-né – Mogyoródi J. – Prékopa A. – Rényi A. – Szász D. (2001): Valószínűségszámítási feladatgyűjtemény. Typotex Kiadó, Budapest.
• Fazekas I. (szerk.) (2000): Bevezetés a matematikai statisztikába. Kossuth Egyetemi Kiadó, Debrecen.
• Medgyessy P. – Takács L. (1973): Valószínűségszámítás. Tankönyvkiadó, Budapest.
• Michelberger P. – Szeidl L. – Várlaki P. (2001): Alkalmazott folyamatstatisztika és idősor-analízis. Typotex Kiadó, Budapest.

Fordítás

Ez a szócikk részben vagy egészben a Central moment című angol Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.