Az algebra alaptétele

Az algebra alaptétele az (egyváltozós) komplex együtthatós polinomok legfontosabb tulajdonságát mondja ki: van gyökük, sőt egy n-edfokú polinomnak multiplicitással számolva pontosan n gyöke van. Ezzel egyenértékű az a régies megfogalmazás, hogy minden (valós) polinom felírható első és másodfokú tényezők szorzataként. A tétel első teljes bizonyítása 1806-ból származik.

A tétel állítása

A komplex polinomok tanulmányozása szempontjából elengedhetetlen tétel azt mondja ki, hogy minden komplex együtthatós, legalább elsőfokú, tehát

${\displaystyle p(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_{1}x+a_{0}}$

alakú polinomnak (ahol ${\displaystyle a_{n}\neq 0}$) van gyöke, azaz olyan c komplex szám, amire p(c)=0.

Úgy is fogalmazhatunk, hogy a ${\displaystyle \mathbb {C} }$ feletti egyváltozós polinomok ${\displaystyle {\mathbb {C} }[x]}$ gyűrűjében az irreducibilis elemek pontosan az elsőfokú polinomok. További ekvivalens megfogalmazás: a komplex számtest algebrailag zárt.

A tétel érdekessége, hogy legtöbb bizonyítása az analízis vagy a topológia módszereit használja.

Ha c gyöke a p(x) polinomnak, akkor p(x)=(x-c)q(x) alakban írható, ahol q(x) eggyel alacsonyabb fokú (azonos főegyütthatóval rendelkező) polinom. Az eljárást folytatva azt kapjuk, hogy

${\displaystyle p(x)=a_{n}(x-c_{1})\cdots (x-c_{n})}$

alakba írható, ahol c₁,…,c_n a polinom gyökei. Ez, az azonos gyökökhöz tartozó tényezőket összevonva

${\displaystyle p(x)=a_{n}(x-d_{1})^{m_{1}}\cdots (x-d_{k})^{m_{k}}}$

alakban írható, ahol tehát m₁,…,m_k a különböző d₁,…,d_k gyökök multiplicitása. Könnyen látható, hogy ez a felbontás egyértelmű.

A tétel kimondható abban az ekvivalens formában is, hogy minden valós együtthatós polinom felbontható első- és másodfokú tényezők szorzatára. Valóban, ha az ${\displaystyle \alpha }$ valódi komplex szám gyöke a valós együtthatós p(x) polinomnak, akkor ${\displaystyle {\overline {\alpha }}}$ is, ekkor viszont a valós együtthatós

${\displaystyle (x-\alpha )(x-{\overline {\alpha }})=x^{2}-(\alpha +{\overline {\alpha }})x+\alpha {\overline {\alpha }}}$

polinom tényezője p(x)-nek, leosztva indukcióval felbonthatjuk p(x)-et a kívánt formájú tényezőkre.

Bizonyítása

Tegyük fel, hogy a komplex együtthatós p(x)=a_nxⁿ+…+a₀ polinomnak nincs gyöke.

Első lépés

Először belátjuk, hogy |p(x)|-nek van lokális minimuma. Osztással feltehetjük, hogy a_n=1 (az osztás megváltoztatja az esetleges minimum értékét, de nem változtatja sem helyét, sem a hely létezésének tényét).

Legyen R=2(1+|a_n-1|+…+|a₀|). Jelöljük K-val az origó körüli R sugarú körlapot, azaz az összes olyan x komplex számot, amire |x|≤R. A |p(x)| függvény felveszi K-n minimális értékét, hiszen K korlátos, zárt halmaz. Belátjuk, hogy ez K egy belső pontjában történik meg és így ez a pont egy környezetében minimális érték.

Minden, a körvonalon levő x pontra |x|=R, ezért

${\displaystyle |p(x)|\geq R^{n}-|a_{n-1}|R^{n-1}-\cdots -|a_{0}|.}$

Mivel R>1, ez legalább

${\displaystyle R^{n}-\left(|a_{n-1}|+\cdots +|a_{0}|\right)R^{n-1}\geq {\frac {R^{n}}{2}}>{\frac {R}{2}}\geq |a_{0}|.}$

Mivel |p(0)|=|a₀|, legalább egy belső helyen |p(x)| kisebb értéket vesz fel, mint a határon bárhol, tehát a minimumhely nem lehet a határon.

Második lépés

Ezután abból a feltevésből, hogy |p(x)|-nek van nem nulla lokális minimuma, ellentmondásra jutunk. Eltolással feltehetjük, hogy 0 a lokális minimumhely. Továbbá osztással azt is feltehetjük, hogy a polinom konstans tagja 1. Az osztás nem változtatja 0 lokális minimum jellegét, csak a minimum értékét. Ekkor tehát |p(x)|≥1 teljesül 0 egy környezetében. Írjuk a polinomot 1+A+B alakba,

${\displaystyle A=a_{r}x^{r},B=a_{r+1}x^{r+1}+\cdots +a_{n}x^{n}}$

ahol r az első index, amire ${\displaystyle a_{r}\neq 0}$. Válasszuk meg a 0<h<1 értéket olyan kicsire, hogy egyrészt legyen

${\displaystyle h<{\frac {|a_{r+1}|+\cdots +|a_{n}|}{|a_{r}|}}}$

másrészt h-ra már teljesüljön, hogy |x|=h esetén |p(x)|≥1. Ezután legyen x abszolút értéke h, szöge pedig ${\displaystyle (\pi -\alpha )/r}$, ahol a_r szöge α. Ekkor a_rx^r szöge ${\displaystyle \pi }$, azaz

${\displaystyle a_{r}x^{r}=-|a_{r}|h^{r}.}$

Az első két tag összege

${\displaystyle 1+A=1-|a_{r}|h^{r}.}$

A többi tag összegének abszolút értéke feltevéseink szerint legfeljebb

${\displaystyle |a_{r+1}|h^{r+1}+\cdots +|a_{n}|h^{n}<\left(|a_{r+1}|+\cdots +|a_{n}|\right)h^{r+1}}$

ami kisebb, mint |a_r|h^r, ezért p(x) abszolút értéke kisebb, mint

${\displaystyle 1-|a_{r}|h^{r}+|a_{r}|h^{r}=1,}$

ellentmondás.

Komplex függvénytani bizonyítások

• Liouville tétele szerint, ha egy függvény az egész komplex síkon analitikus és korlátos, akkor állandó. Ebből következik az algebra alaptétele, hiszen, ha ${\displaystyle f(x)}$ egy legalább elsőfokú polinom, aminek nincs komplex gyöke, akkor ${\displaystyle 1/f(x)}$ az egész síkon analitikus. Továbbá korlátos az első bizonyításban második lépése miatt. De konstans nem lehet, hiszen akkor ${\displaystyle f(x)}$ is konstans lenne.

• Rouché tétele szerint, ha az ${\displaystyle f(x)}$ és ${\displaystyle g(x)}$ függvények a G egyszeresen zárt görbén és annak belsejében analitikusak és a G görbén mindenütt teljesül ${\displaystyle |g(x)|<|f(x)|}$, akkor ${\displaystyle f(x)+g(x)}$-nek G belsejében ugyanannyi gyöke van (multiplicitással számolva), mint ${\displaystyle f(x)}$-nek. Ha ${\displaystyle F(x)=x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_{0}}$ polinom, akkor ezt ${\displaystyle f(x)=x^{n}}$-re és ${\displaystyle g(x)=a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_{0}}$-ra elég nagy körön alkalmazva adódik, hogy ${\displaystyle F(x)}$-nek n gyöke van.

• A reziduumtétel szerint, egy analitikus f függvény gyökeinek száma egy G egyszerű zárt görbe által határolt területen megkapható f logaritmikus deriváltjának integráljából:${\displaystyle {\frac {1}{2\pi i}}\int _{G}{\frac {f'(z)}{f(z)}}dz}$ahol az integrálás pozitív körüljárással történik. Ha itt ${\displaystyle f(z)=z^{n}+\cdots }$ polinom, akkor elég nagy kör esetén a ${\displaystyle z^{n}}$ főtag adja az integrál nagy részét, ennek az integrálja viszont n.

Topológiai bizonyítás

A topológiában szintén létezik a körülfordulási szám. A körvonal egy felosztását jónak mondjuk egy vektormezőhöz, ha az két osztópont között csak hegyesszöggel fordulhat el. Ekkor a vektormező szomszédos osztópontok közötti elfordulásait összegezve és 2π-vel osztva a körülfordulási számot kapjuk. Ezzel belátható egy Rouché tételére emlékeztető tétel, miszerint, ha a v és a w vektormező egymáshoz képest mindig hegyesszöget zár be egy mindkettőhöz jó felosztás szomszédos osztópontjaiban, akkor a körülfordulási számuk meg fog egyezni. Innen az algebra alaptétele a Rouché tételét használó bizonyításhoz hasonló gondolatmenettel látható be. Vesszük a p(z) és a zⁿ által meghatározott vektormezőket a komplex sík egy elég nagy sugarú körén. zⁿ körülfordulási száma pozitív n esetén nem nulla, ezért p(z) körülfordulási száma sem lehet nulla, mivel az éppen megegyezik n-nel.

Algebrai bizonyítás

Ez a bizonyítás kevés analízist és sok algebrát használ. Azt igazoljuk, és ez elég, hogy, ha a ${\displaystyle p(x)=x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots }$ polinom minden együtthatója valós, akkor a polinomnak van gyöke a komplex számok körében. Írjuk fel n-et ${\displaystyle n=2^{r}k}$ alakban, ahol k páratlan. Az állítást r-re vonatkozó indukcióval igazoljuk. Ha r=0, tehát n páratlan, akkor ${\displaystyle p(x)}$-nek Bolzano tétele szerint van valós gyöke (ez a kevés analízis).

Tegyük fel, hogy ${\displaystyle r>0}$. A komplex számtestnek van olyan bővítése, amiben ${\displaystyle p(x)}$-nek n gyöke van: ${\displaystyle u_{1},\dots ,u_{n}}$ (ez a sok algebra).

Minden ${\displaystyle 0\leq t\leq {{n} \choose {2}}}$ természetes számra készítsük el a

${\displaystyle q_{t}(x)=\prod _{i<j}\left(x-(u_{i}+u_{j}+tu_{i}u_{j})\right)}$

polinomot. Ennek fokszáma ${\displaystyle 2^{r-1}k(n-1)}$, amiben pedig 2 kitevője eggyel kisebb, hiszen k és n-1 is páratlanok. Továbbá ${\displaystyle q_{t}(x)}$ együtthatói ${\displaystyle u_{1},\dots ,u_{n}}$ egész együtthatós szimmetrikus polinomjai, tehát a szimmetrikus polinomok alaptétele értelmében ${\displaystyle u_{1},\dots ,u_{n}}$ elemi szimmetrikus polinomjainak, tehát az ${\displaystyle a_{1},\dots ,a_{n}}$-eknek egész együtthatós polinomjai (ez is egy kis algebra). Ezért ${\displaystyle q_{t}(x)}$ együtthatói valósok, így, az indukció miatt, van komplex gyöke. Azt kaptuk tehát, hogy minden t-re van ${\displaystyle i<j}$, hogy ${\displaystyle u_{i}+u_{j}+tu_{i}u_{j}}$ komplex. Mivel ilyen (i,j) pár csak ${\displaystyle {n} \choose {2}}$ van, van két t, mondjuk ${\displaystyle t}$ és ${\displaystyle t'}$, amire ugyanazt az (i,j) értéket kapjuk. Azaz, ${\displaystyle u_{i}+u_{j}+tu_{i}u_{j}}$ és ${\displaystyle u_{i}+u_{j}+t'u_{i}u_{j}}$ is komplex. De ekkor ${\displaystyle a=u_{i}+u_{j}}$ és ${\displaystyle b=u_{i}u_{j}}$ is komplex, ekkor viszont ${\displaystyle u_{i}}$, az ${\displaystyle x^{2}-ax+b}$ egyenlet gyöke is komplex.

Története

A korai megfogalmazásokban az algebra alaptételét legtöbbször abban az ekvivalens formában mondták ki, hogy minden (valós) polinom első és másodfokú tényezők szorzata. Nicolaus Bernoulli azt állította, hogy a

${\displaystyle x^{4}-4x^{3}+2x^{2}+4x+4}$

polinom nem bomlik így fel. Euler 1742-ben viszont sikeresen felbontotta e polinomot:

${\displaystyle \left(x^{2}-\left(2+{\sqrt {4+2{\sqrt {7}}}}\right)x+\left(1+{\sqrt {4+2{\sqrt {7}}}}+{\sqrt {7}})\right)\right)}$

és

${\displaystyle \left(x^{2}-\left(2-{\sqrt {4+2{\sqrt {7}}}}\right)x+\left(1-{\sqrt {4+2{\sqrt {7}}}}+{\sqrt {7}})\right)\right)}$

szorzatára.

1746-ban d'Alembert publikált bizonyítást az algebra alaptételére. Azt próbálta belátni, hogy ha a ${\displaystyle p(x)}$ polinomra ${\displaystyle |p(a)|\neq 0}$ teljesül egy a komplex számra, akkor van olyan b komplex szám, hogy ${\displaystyle |p(b)|<|p(a)|}$. Ezt úgy próbálta igazolni, hogy p(x) inverzét p(a) körül x törtkitevős hatványaiból álló sorral kifejezte, aminek lehetőségét már Newton állította, de igazolnia csak Puiseux-nak sikerült, 1850-ben. Így d'Alembert bizonyítása nem volt teljes.

Euler 1749-ben Recherches sur les racines imaginaires des équations című dolgozatában szintén megpróbálkozott a tétel igazolásával. Először igazolta, hogy minden valós negyedfokú polinom két másodfokú szorzata. Ezután azt próbálta, sikertelenül, igazolni, hogy minden ${\displaystyle n\geq 2}$-re minden ${\displaystyle 2^{n}}$-fokú polinom szétesik két ${\displaystyle 2^{n-1}}$-fokú polinom szorzatára.

További sikertelen kísérletet tettek a tétel igazolására de Foncenex (1759), Lagrange (1772) és Laplace (1795).

Az algebra alaptételét kifogástalanul először, 1806-ban, Argand bizonyította.

Források

• Halász Gábor: Komplex függvénytan
• Szűcs András: Topológia
• Gauss: Demonstratio Nova Theorematis Omnem Fvnctionem Agebraicam Rationalem Integram Vnivs Variabilis in Factores Reales Primi vel Secundi Gradvs Resolvi Posse