A Schwarzschild-megoldás levezetése

Az általános relativitáselméletnek a gömbszimmetrikus vákuum megoldását Schwarzschild-megoldásnak nevezzük, amely egy pontforrás gravitációs terét írja le.

Jelölések

A következő koordináta négyest használjuk ${\displaystyle \left(r,\theta ,\phi ,t\right)}$ .

Feltételezéseink

(1) Gömbszimmetrikus téridőben a metrika nem változik a ${\displaystyle \theta \rightarrow -\theta }$ vagy ${\displaystyle \phi \rightarrow -\phi }$ tükrözések esetén, valamint a két változóban történő forgatások elvégzése esetén.

(2) A statikus téridőben az összes metrikus komponens ${\displaystyle t}$ (idő) független (azaz ${\displaystyle {\frac {\partial g_{\mu \nu }}{\partial t}}=0}$) és nem változik időtükrözés ${\displaystyle t\rightarrow -t}$ esetén sem.

(3) Vákuum megoldás esetén az Einstein egyenletek jobb oldala eltűnik, tehát ${\displaystyle T_{ab}=0}$. Így az egyenletekből ${\displaystyle R=0}$ következik. Továbbá az ${\displaystyle R_{ab}-{\frac {R}{2}}g_{ab}=0}$ egyenletből ${\displaystyle R_{ab}=0}$ kapunk.

A metrika diagonalizálása

A ${\displaystyle (r,\theta ,\phi ,t)\rightarrow (r,\theta ,\phi ,-t)}$, transzformációra a metrika nem változik. A ${\displaystyle g_{\mu 4}}$ (${\displaystyle \mu \neq 4}$) komponensek a következőképpen transzformálódnak:

${\displaystyle g_{\mu 4}'={\frac {\partial x^{\alpha }}{\partial x^{'\mu }}}{\frac {\partial x^{\beta }}{\partial x^{'4}}}g_{\alpha \beta }=-g_{\mu 4}}$ (${\displaystyle \mu \neq 4}$)

Mivel a ${\displaystyle g'_{\mu 4}=g_{\mu 4}}$ metrikus komponensek nem változnak:

${\displaystyle g_{\mu 4}=\,0}$ (${\displaystyle \mu \neq 4}$)

A ${\displaystyle (r,\theta ,\phi ,t)\rightarrow (r,\theta ,-\phi ,t)}$ és a ${\displaystyle (r,\theta ,\phi ,t)\rightarrow (r,-\theta ,\phi ,t)}$ koordináta transzformációkból:

${\displaystyle g_{\mu 3}=\,0}$ (${\displaystyle \mu \neq 3}$)

${\displaystyle g_{\mu 2}=\,0}$ (${\displaystyle \mu \neq 2}$)

Összegezve:

${\displaystyle g_{\mu \nu }=\,0}$ (${\displaystyle \mu \neq \nu }$)

Tehát a metrika a következő alakú

${\displaystyle ds^{2}=\,g_{11}\,dr^{2}+g_{22}\,d\theta ^{2}+g_{33}\,d\phi ^{2}+g_{44}\,dt^{2}}$

A komponensek kiszámítása

Azon a hiperfelületen ahol ${\displaystyle t}$, ${\displaystyle \theta }$ és ${\displaystyle \phi }$ konstans, a ${\displaystyle g_{11}}$ komponens csak ${\displaystyle r}$ -től függ. Tehát

${\displaystyle g_{11}=A\left(r\right)}$

hasonlóan

${\displaystyle g_{44}=B\left(r\right)}$

vagy hagyományos jelölésmóddal

${\displaystyle g_{11}=h^{2}}$ és ${\displaystyle g_{00}=-f^{2}}$

Konstans ${\displaystyle t}$ és ${\displaystyle r}$ estén

${\displaystyle dl^{2}=r_{0}^{2}(d\theta ^{2}+\sin ^{2}\theta \,d\phi ^{2})}$

továbbá

${\displaystyle {\tilde {g}}_{22}\left(d\theta ^{2}+{\frac {{\tilde {g}}_{33}}{{\tilde {g}}_{22}}}\,d\phi ^{2}\right)=r_{0}^{2}(d\theta ^{2}+\sin ^{2}\theta \,d\phi ^{2})}$

amiből:

${\displaystyle {\tilde {g}}_{22}=r_{0}^{2}}$ és ${\displaystyle {\tilde {g}}_{33}=r_{0}^{2}\sin ^{2}\theta }$

Valamint

${\displaystyle g_{22}=\,r^{2}}$ és ${\displaystyle g_{33}=\,r^{2}\sin ^{2}\theta }$

Tehát a metrika alakja a következő lesz:

${\displaystyle ds^{2}=A\left(r\right)dr^{2}+r^{2}\,d\theta ^{2}+r^{2}\sin ^{2}\theta \,d\phi ^{2}+B\left(r\right)dt^{2}}$

Vagy hagyományos jelölésmóddal

${\displaystyle g_{ik}={\begin{bmatrix}-f^{2}&0&0&0\\0&h^{2}&0&0\\0&0&r^{2}&0\\0&0&0&r^{2}\sin ^{2}\theta \end{bmatrix}}}$

A Christoffel-szimbólumok kiszámítása

Hosszas számolás után a metrikus tenzorból kiszámíthatók a Christoffel-szimbólumok.

${\displaystyle \Gamma _{ik}^{0}={\begin{bmatrix}0&f'/f&0&0\\f'/f&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0\end{bmatrix}}}$

Ahol a vessző az r szerinti deriválást jelöli.

${\displaystyle \Gamma _{ik}^{1}={\begin{bmatrix}ff'/h^{2}&0&0&0\\0&h'/h&0&0\\0&0&-r/h^{2}&0\\0&0&0&-r\sin ^{2}\theta /h^{2}\end{bmatrix}}}$

${\displaystyle \Gamma _{ik}^{2}={\begin{bmatrix}0&0&0&0\\0&0&1/r&0\\0&1/r&0&0\\0&0&0&-\sin \theta \cos \theta \end{bmatrix}}}$

${\displaystyle \Gamma _{ik}^{3}={\begin{bmatrix}0&0&0&0\\0&0&0&1/r\\0&0&0&\cot \theta \\0&1/r&\cot \theta &0\end{bmatrix}}}$

${\displaystyle A(r)}$ és ${\displaystyle B(r)}$ kiszámítása

Használjuk a vákuum esetén érvényes

${\displaystyle {\rm {R_{ab}=\,0}}}$

egyenletet. A 10 független egyenletből 6 triviálisan teljesül. A maradék négy a következő

${\displaystyle {\rm {4{\dot {A}}B^{2}-2r{\ddot {B}}AB+r{\dot {A}}{\dot {B}}B+r{\dot {B}}^{2}A=0}}}$

${\displaystyle {\rm {r{\dot {A}}B+2A^{2}B-2AB-r{\dot {B}}A=0}}}$

${\displaystyle {\rm {-2r{\ddot {B}}AB+r{\dot {A}}{\dot {B}}B+r{\dot {B}}^{2}A-4{\dot {B}}AB=0}}}$

(A 4. egyenlet ${\displaystyle \sin ^{2}\theta }$ -szorosa a 2. egyenletnek.)

Itt a pont az r szerinti deriválást jelöli. Kivonva az első egyenletet a harmadikból

${\displaystyle {\rm {{\dot {A}}B+A{\dot {B}}=0\Rightarrow A(r)B(r)=K}}}$

Továbbá ${\displaystyle A(r)B(r)\,=K}$

${\displaystyle {\rm {r{\dot {A}}=A(1-A)}}}$

aminek az általános megoldása:

${\displaystyle {\rm {A(r)=\left(1+{\frac {1}{Sr}}\right)^{-1}}}}$

Itt ${\displaystyle S}$ egy nem nulla valós szám (hasonlóan ${\displaystyle K}$ -hoz). Tehát a statikus gömbszimmetrikus általános megoldás a metrikára:

${\displaystyle {\rm {ds^{2}=\left(1+{\frac {1}{Sr}}\right)^{-1}dr^{2}+r^{2}(d\theta ^{2}+\sin ^{2}\theta d\phi ^{2})+K\left(1+{\frac {1}{Sr}}\right)dt^{2}}}}$

Gyenge tér közelítés ${\displaystyle K}$ és ${\displaystyle S}$ meghatározására

A metrikának gyenge tér közelítésben vissza kell adnia a newtoni tömegvonzást. Továbbá, ha a tömeggel nullához közelítünk a Minkowski-téridőt kell megkapnunk.

${\displaystyle 0=\delta \int {\frac {ds}{dt}}dt=\delta \int (KE+PE_{g})dt}$

egyenletet. Gyenge tér közelítésben:

${\displaystyle g_{44}=K\left(1+{\frac {1}{Sr}}\right)\approx -c^{2}+{\frac {2Gm}{r}}=-c^{2}\left(1-{\frac {2Gm}{c^{2}r}}\right)}$

ahol ${\displaystyle G}$ a gravitációs állandó, ${\displaystyle m}$ a tömeg és ${\displaystyle c}$ a fénysebesség

${\displaystyle K=\,-c^{2}}$ és ${\displaystyle {\frac {1}{S}}=-{\frac {2Gm}{c^{2}}}}$

Így:

${\displaystyle A(r)=\left(1-{\frac {2Gm}{c^{2}r}}\right)^{-1}}$ és ${\displaystyle B(r)=-c^{2}\left(1-{\frac {2Gm}{c^{2}r}}\right)}$

Tehát a Schwarzschild metrika a következő alakú lesz:

${\displaystyle ds^{2}=\left(1-{\frac {2Gm}{c^{2}r}}\right)^{-1}dr^{2}+r^{2}(d\theta ^{2}+\sin ^{2}\theta d\phi ^{2})-c^{2}\left(1-{\frac {2Gm}{c^{2}r}}\right)dt^{2}}$

Irodalom

• Landau-Lifsic: Elméleti fizika II. Tankönyvkiadó, Budapest, 1976
• Novobátzky Károly: A relativitás elmélete. Tankönyvkiadó, Budapest, 1963
• Perjés Zoltán: Általános relativitáselmélet. Akadémiai Kiadó. Budapest. 2006. ISBN 9630584239

Hivatkozások

Lásd még

• Kerr-metrika
• Reissner–Nordström-metrika