Árkuszszinusz-eloszlás

Az árkuszszinusz-eloszlás egy valószínűség-eloszlás, melynek a kumulatív eloszlásfüggvénye:

F ( x ) = 2 π arcsin ⁡ ( x ) = arcsin ⁡ ( 2 x − 1 ) π + 1 2 {\displaystyle F(x)={\frac {2}{\pi }}\arcsin \left({\sqrt {x}}\right)={\frac {\arcsin(2x-1)}{\pi }}+{\frac {1}{2}}}

a 0 ≤ x ≤ 1 tartományban, és a sűrűségfüggvénye:

f ( x ) = 1 π x ( 1 − x ) {\displaystyle f(x)={\frac {1}{\pi {\sqrt {x(1-x)}}}}} (0,1) tartományban.

A standard árkuszszinusz-eloszlás a béta-eloszlás egy speciális esete, ahol α = β = 1/2. Ez azt jelenti, hogy ha X {\displaystyle X} egy standard árkuszszinusz-eloszlás, akkor X ∼ B e t a ( 1 2 , 1 2 )   {\displaystyle X\sim {\rm {Beta}}({\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{2}})\ } .

Az árkuszszinusz-eloszlás megjelenik a következő törvényekben:

Kiterjesztés

Az eloszlás egy egyszerű transzformációval kiterjeszthető a ≤ x ≤ b tartományra:

F ( x ) = 2 π arcsin ⁡ ( x − a b − a ) {\displaystyle F(x)={\frac {2}{\pi }}\arcsin \left({\sqrt {\frac {x-a}{b-a}}}\right)}

ahol a ≤ x ≤ b, melynek a sűrűségfüggvénye:

f ( x ) = 1 π ( x − a ) ( b − x ) {\displaystyle f(x)={\frac {1}{\pi {\sqrt {(x-a)(b-x)}}}}}

(a,b) tartományban.

Az árkuszszinusz-eloszlás jellemzői

  • Tartomány: x ∈ [ 0 , 1 ] {\displaystyle x\in [0,1]}
  • Sűrűségfüggvény: f ( x ) = 1 π x ( 1 − x ) {\displaystyle f(x)={\frac {1}{\pi {\sqrt {x(1-x)}}}}}
  • Kumulatív eloszlásfüggvény: F ( x ) = 2 π arcsin ⁡ ( x ) {\displaystyle F(x)={\frac {2}{\pi }}\arcsin \left({\sqrt {x}}\right)}
  • Átlag: 1 2 {\displaystyle {\frac {1}{2}}}
  • Medián: 1 2 {\displaystyle {\frac {1}{2}}}
  • módusz: x ∈ 0 , 1 {\displaystyle x\in {0,1}}
  • Szórásnégyzet: 1 8 {\displaystyle {\tfrac {1}{8}}}
  • Ferdeség: 0 {\displaystyle 0}
  • Lapultság: − 3 2 {\displaystyle -{\tfrac {3}{2}}}

Jellemző görbék

Sűrűségfüggvény
Kumulatív eloszlásfüggvény

Jegyzetek

Források

  • Rogozin, B.A: Encyclopedia of Mathematics. (hely nélkül): Springer. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4  
  • Horváth Gézáné: Kvantitatív módszerek I.Fejezetek a valószínűségszámításból. (hely nélkül): PERFEKT ZRT. 2005. ISBN 9789633945902  
  • Maddala, G.S: Limited-Dependent and Qualitative Variables in Econometrics. (hely nélkül): Cambridge University Press. 1983.  
  • Tadikamalla, Pandu R: A Look at the Burr and Related Distributions. (hely nélkül): International Statistical Review 48 (3):. 1980. 337–344. o.  
  • Burr, I.W: Cumulative frequency functions. (hely nélkül): Annals of Mathematical Statistics. 1942. 215–232. o.  
  • Rodriguez, R.N: A guide to Burr Type XII distributions. (hely nélkül): Biometrika, 64. 1977. 129–134. o.  

Kapcsolódó szócikkek