Tore d'application

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En mathématiques et plus particulièrement en topologie, le tore d'application, dit aussi mapping torus ou encore tore de suspension, d'un homéomorphisme ${\displaystyle f}$ d'un espace topologique ${\displaystyle X}$ est l'espace produit ${\displaystyle \scriptstyle X\times [0,1]}$ quotienté par la relation d'équivalence ${\displaystyle \scriptstyle (x,1)\sim (f(x),0)}$.

Propriétés

• Le tore d'un homéomorphisme de X est l'espace total d'un fibré sur S¹, de fibre X.
• Les tores de deux homéomorphismes f et g de X sont homéomorphes (et même isomorphes, en tant que fibrés) dès que f et g sont conjugués ou isotopes (dans le groupe topologique des homéomorphismes de X, muni de la topologie compacte-ouverte), ou plus synthétiquement : dès qu'il existe un chemin continu (h_t)_t∈[0,1] d'homéomorphismes de X tel que h₁∘f = g∘h₀.
• Le tore d'un homéomorphisme f de X est l'espace des orbites de l'action de ℤ sur X×ℝ donnée par n∙(x, y) = (f ⁿ(x), y + n).

Exemples

• Le tore de l'application identité de ${\displaystyle X}$ est le fibré trivial.
• Si ${\displaystyle X=S^{1}}$, le tore de ${\displaystyle f}$ est le tore T² ou la bouteille de Klein, selon que ${\displaystyle f}$ conserve ou renverse l'orientation.
• Le ruban de Möbius est le tore de l'homéomorphisme ${\displaystyle \scriptstyle [-1,1]\to [-1,1],x\mapsto -x}$.

Références

• (en) William Thurston, « On the geometry and dynamics of diffeomorphisms of surfaces », Bull. Amer. Math. Soc., vol. 19,‎ 1988, p. 417–431
• François Gautero, Quatre problèmes géométriques, dynamiques ou algébriques autour de la suspension, Habilitation à diriger des recherches, 2006

Articles connexes

• Conjecture de géométrisation
• Mapping class group

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