Théorème de fluctuation-dissipation

En théorie de la réponse linéaire, il existe une relation entre la fonction de réponse χ ( ω ) {\displaystyle \chi (\omega )} et la fonction de corrélation S ( ω ) {\displaystyle S(\omega )} . Celle-ci a été établie par Herbert Callen et Theodore Welton en 1951, et pour cette raison le théorème de fluctuation-dissipation est aussi appelé théorème de Callen-Welton[1]. Selon ce théorème,

S ( ω ) = ℏ coth ⁡ ( ℏ ω 2 k B T ) I m χ ( ω ) {\displaystyle S(\omega )=\hbar \coth \left({\frac {\hbar \omega }{2k_{B}T}}\right)\mathrm {Im} \chi (\omega )} .

Le nom de théorème de fluctuation-dissipation vient de ce que la partie imaginaire de la fonction de réponse mesure la dissipation, alors que la fonction de corrélation S ( ω ) {\displaystyle S(\omega )} mesure l'intensité des fluctuations. On peut reformuler ce théorème en introduisant une force fluctuante f ( ω ) {\displaystyle f(\omega )} par x ( ω ) = χ ( ω ) f ( ω ) {\displaystyle x(\omega )=\chi (\omega )f(\omega )} où x ( ω ) {\displaystyle x(\omega )} est la grandeur fluctuante. En introduisant cette expression dans la définition de S ( ω ) = ⟨ x ( ω ) x ( − ω ) ⟩ {\displaystyle S(\omega )=\langle x(\omega )x(-\omega )\rangle } où ⟨ … ⟩ {\displaystyle \langle \ldots \rangle } désigne la moyenne sur les fluctuations quantiques ou les fluctuations thermiques, on peut réécrire le théorème de fluctuation-dissipation sous la forme :

⟨ f ( ω ) f ( − ω ) ⟩ = − ℏ coth ⁡ ( ℏ ω 2 k B T ) I m ( 1 χ ( ω ) ) {\displaystyle \langle f(\omega )f(-\omega )\rangle =-\hbar \coth \left({\frac {\hbar \omega }{2k_{B}T}}\right)\mathrm {Im} \left({\frac {1}{\chi (\omega )}}\right)} .

Il est également possible d'obtenir un théorème de fluctuation et dissipation généralisé, faisant intervenir plusieurs variables. Cette extension est discutée dans le livre de Landau et Lifshitz[2].

Références

  1. ↑ (en) Herbert B. Callen et Theodore A. Welton, « Irreversibility and Generalized Noise », Physical Review, vol. 83, no 1,‎ , p. 34-40
  2. ↑ (en) Lev Landau et Evgueni Lifchits, Course of Theoretical Physics Volume 5 : Statistical Physics, Pergamon Press, (lire en ligne)

Bibliographie

  • Noëlle Pottier, Physique statistique hors d'équilibre : processus irréversibles linéaires, Les Ulis/Paris, EDP Sciences/CNRS Éditions, , 524 p. (ISBN 978-2-86883-934-3)
  • Noëlle Pottier, « Physique statistique hors d'équilibre : équation de Boltzmann, réponse linéaire »
  • Philippe-André Martin, « Physique statistique des processus irréversibles »

Articles connexes

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