Théorème de de Gua

En mathématiques, le théorème de de Gua est une extension du théorème de Pythagore à la géométrie dans l'espace. Il a été énoncé par René Descartes et Johann Faulhaber dès 1622. Jean-Paul de Gua de Malves le démontre en 1783 en utilisant les formules de Héron d'Alexandrie^[1].

Énoncé

Soit OABC un tétraèdre trirectangle en O.

Le carré de l'aire de la face ABC est la somme des carrés des aires des trois autres faces.

${\displaystyle {\mathcal {A}}_{ABC}^{2}={\mathcal {A}}_{\color {blue}ABO}^{2}+{\mathcal {A}}_{\color {green}ACO}^{2}+{\mathcal {A}}_{\color {red}BCO}^{2}}$

Démonstration

Notons a, b, c les longueurs respectives des arêtes OA, OB, OC.

Considérons le volume intérieur découpé par le tétraèdre, il est égal à abc/6 = c/3${\displaystyle {\mathcal {A}}_{\color {blue}ABO}}$ = b/3${\displaystyle {\mathcal {A}}_{\color {green}ACO}}$ = a/3${\displaystyle {\mathcal {A}}_{\color {red}BCO}}$ mais aussi à h/3${\displaystyle {\mathcal {A}}_{ABC}}$ où h désigne la hauteur associée à la face ABC.

Comme le vecteur ${\displaystyle {\overrightarrow {n}}=(bc)^{2}{\overrightarrow {OA}}+(ac)^{2}{\overrightarrow {OB}}+(ab)^{2}{\overrightarrow {OC}}}$ est normal au plan (ABC), cette hauteur vaut ${\displaystyle h={\langle {\overrightarrow {OA}}\mid {\overrightarrow {n}}\rangle \over \|{\overrightarrow {n}}\|}}$

On a donc, en égalant les volumes : ${\displaystyle {\frac {abc}{6}}={\frac {1}{3}}{\frac {abc}{\sqrt {(bc)^{2}+(ac)^{2}+(ab)^{2}}}}{\mathcal {A}}_{ABC}}$. Soit en simplifiant ${\displaystyle 4{\mathcal {A}}_{ABC}^{2}=(ab)^{2}+(bc)^{2}+(ac)^{2}}$ ; la formule demandée.

Extension

La formule s'étend aux dimensions supérieures^[2], ce que remarque Descartes pour la dimension 4, dans ses notes^[3] dès 1619-1623.

Références

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