Théorème de Lie

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En mathématiques, le théorème de Lie, démontré en 1876 par Sophus Lie[1], porte sur la structure des algèbres de Lie résolubles. Comme les théorèmes de Engel (1890) et de Kolchin (1948), il s'agit d'un théorème de trigonalisation simultanée.

Le théorème s'énonce ainsi :

Théorème — Soit K un corps algébriquement clos de caractéristique nulle. Soit V un espace vectoriel de dimension finie sur K et g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} une sous-algèbre de Lie résoluble de g l ( V ) {\displaystyle {\mathfrak {gl}}(V)} . Alors il existe une base de V dans laquelle tous les éléments de g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} sont des matrices triangulaires supérieures.

Une conséquence très importante de ce théorème est le critère de Cartan (en). On suppose ici simplement K de caractéristique nulle. Pour g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} comme ci-dessus, on note B la forme bilinéaire sur g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} définie par B(X, Y) = tr(XY). B est la forme de Killing associée à g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} . Le critère de Cartan montre alors que g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} est résoluble si et seulement si B ( g , D g ) = 0 {\displaystyle B({\mathfrak {g}},D{\mathfrak {g}})=0} , où D g = [ g , g ] {\displaystyle D{\mathfrak {g}}=[{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}]} .

Ce théorème est à son tour très utile pour établir le critère de Killing-Cartan : avec la même hypothèse sur K, g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} est semi-simple si et seulement si B est une forme bilinéaire non dégénérée. Ce critère est le premier pas vers la classification des algèbres de Lie semi-simples.

Note et référence

  1. ↑ (de) Sophus Lie, « Theorie der Transformationsgruppen. Abhandlung II », Archiv for Mathematik og Naturvidenskab, vol. 1,‎ , p. 152-193 (lire en ligne)
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