Test des rangs signés de Wilcoxon

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Test de Wilcoxon

Type	Test statistique, paired difference test (en)
Nommé en référence à	Frank Wilcoxon

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En statistique, le test des rangs signés de Wilcoxon est une alternative non-paramétrique au test de Student pour des échantillons appariés. Le test s'intéresse à un paramètre de position : la médiane, le but étant de tester s'il existe un changement sur la médiane.

Conditions du test

La procédure considère que les variables étudiées ont été mesurées sur une échelle permettant d'ordonner les observations en rangs pour chaque variable (c'est-à-dire une échelle ordinale) et que les différences de rangs entre variables ont un sens.

C'est pourquoi les conditions requises pour réaliser ce test sont plus contraignantes que celles du test des signes. Toutefois, si ces conditions sont remplies, c'est-à-dire si les différences (ex: différents taux pour un même individu) contiennent des informations exploitables, ce test sera plus puissant que le test des signes.

En fait, si les conditions du test T paramétrique pour des échantillons appariés sont remplies, ce test est presque aussi puissant que le test T.

Les données consistent en ${\displaystyle 2n}$ observations, deux observations pour chaque sujet n

Sujet i	${\displaystyle X_{i}}$	${\displaystyle Y_{i}}$
1	${\displaystyle X_{1}}$	${\displaystyle Y_{1}}$
2	${\displaystyle X_{2}}$	${\displaystyle Y_{2}}$
.	.	.
${\displaystyle n}$	${\displaystyle X_{n}}$	${\displaystyle Y_{n}}$

On note ${\displaystyle Z_{i}:=Y_{i}-X_{i},i=1,\dots ,n}$ et ces différences sont supposées mutuellement indépendantes. Chaque ${\displaystyle Z}$ provient d'une population continue (pas nécessairement la même) et est symétrique autour d'une médiane commune ${\displaystyle \theta }$. On note ${\displaystyle F_{i}}$la loi de ${\displaystyle Z_{i}}$on suppose que :

${\displaystyle F_{i}(\theta +t)-F_{i}(\theta -t)=0,}$ pour tout t. Le paramètre ${\displaystyle \theta }$ est nommé "treatment effect"

Procédure du test

L'hypothèse nulle est ${\displaystyle H_{0}:\theta =0}$.

Pour calculer la statistique de test des rangs signés de Wilcoxon ${\displaystyle T^{+}}$, on range du plus petit au plus grand les valeurs absolues des différences ${\displaystyle |Z_{i}|,\dots ,|Z_{n}|}$ et l'on note ${\displaystyle R_{i}}$ le rang de ${\displaystyle |Z_{i}|}$. On définit la fonction indicatrice ${\displaystyle \psi _{i}}$qui est égale à 1 si ${\displaystyle Z_{i}>0}$ et 0 si ${\displaystyle Z_{i}\leqslant 0}$.

La statistique de test est alors ${\displaystyle T^{+}=\sum _{i=1}^{n}R_{i}\psi _{i}}$.

• Test unilatéral à droite ${\displaystyle H_{1}:\theta >0}$

On rejette ${\displaystyle H_{0}}$ si ${\displaystyle T^{+}\geqslant t_{\alpha }}$où ${\displaystyle t_{\alpha }}$ est choisi tel que le risque de première espèce est égale à ${\displaystyle \alpha }$, le niveau de signification statistique.

• Test unilatéral à gauche ${\textstyle H_{2}:\theta <0}$

On rejette ${\displaystyle H_{0}}$ si ${\displaystyle T^{+}\leqslant {\frac {n(n+1)}{2}}-t_{\alpha }}$

• Test bilatéral ${\displaystyle H_{3}:\theta \neq 0}$

On rejette ${\displaystyle H_{0}}$ si ${\displaystyle T^{+}\leqslant {\frac {n(n+1)}{2}}-t_{\alpha /2}}$ou ${\displaystyle T^{+}\geqslant t_{\alpha /2}}$.

Les valeurs critiques ${\displaystyle t_{\alpha }}$ peuvent être obtenues avec la fonction R qsignrank .

Implémentation

• wilcox.test(x, y, paired = TRUE) avec la bibliothèque "stats" de R^[1].

Notes et références

v · m Tests statistiques
Tests de comparaison d'une seule variable	Pour un échantillon Test Z Test t pour un échantillon Test des signes Test des rangs signés de Wilcoxon Estimateur de Hodges-Lehmann Pour deux échantillons Test F Test de Student Test t de Welch Test U de Mann-Whitney Test du χ² d'homogénéité Test de McNemar Test de la médiane Pour 3 échantillons ou plus Analyse de la variance (ANOVA) Test de Kruskal-Wallis ANOVA de Friedman Test de Bartlett Test de Levene Test de Brown-Forsythe
Tests de comparaison de deux variables	Deux variables quantitatives : Tests de corrélation Corrélation de Pearson Corrélation de Spearman Corrélation de Kendall Deux variables qualitatives Test exact de Fisher Test du χ² d'indépendance Test Gamma Plus de deux variables Concordance de Kendall Analyse de variance multivariée Test Q de Cochran
Tests d'adéquation à une loi	Test de Kolmogorov-Smirnov Test du χ² d'adéquation Test de Jarque-Bera Test de Lilliefors Test d'Anderson-Darling Test de D'Agostino Test de Cramer-Von Mises
Tests d'appartenance à une famille de lois	Test de Shapiro-Wilk
Autres tests	Test du rapport de vraisemblance
Tests non-paramétriques Tests paramétriques Table d'utilisation des tests statistiques

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