Système quater-imaginaire

Le système de numération quater-imaginaire fut proposé en premier par Donald Knuth en 1955, lors d'une soumission à une recherche de talent scientifique au lycée. C'est un système positionnel non standard (en) car à base complexe (en), qui utilise comme base le nombre imaginaire pur 2i. Il peut représenter chaque nombre complexe en utilisant seulement les chiffres 0, 1, 2 et 3 (les réels négatifs, dont la représentation dans un système standard utilise le signe moins, sont représentables en quater-imaginaire par une simple suite de chiffres).

Puissances de 2i

n −8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5 6 7 8
(2i)n 1/256 i/128 −1/64 −i/32 1/16 i/8 −1/4 −i/2 1 2i −4 −8i 16 32i −64 −128i 256

Du système décimal vers le système quater-imaginaire

Base 10 Base 2i
1 1
2 2
3 3
4 10300
5 10301
6 10302
7 10303
8 10200
9 10201
10 10202
11 10203
12 10100
13 10101
14 10102
15 10103
16 10000
Base 10 Base 2i
–1 103
−2 102
−3 101
−4 100
−5 203
−6 202
−7 201
−8 200
−9 303
−10 302
−11 301
−12 300
−13 1030003
−14 1030002
−15 1030001
−16 1030000
Base 10 Base 2i
i 10,2
2i 10  
3i 20,2
4i 20  
5i 30,2
6i 30  
7i 103000,2
8i 103000  
9i 103010,2
10i 103010  
11i 103020,2
12i 103020  
13i 103030,2
14i 103030  
15i 102000,2
16i 102000  
Base 10 Base 2i
−i 0,2
−2i 1030  
−3i 1030,2
−4i 1020  
−5i 1020,2
−6i 1010  
−7i 1010,2
−8i 1000  
−9i 1000,2
−10i 2030  
−11i 2030,2
−12i 2020  
−13i 2020,2
−14i 2010  
−15i 2010,2
−16i 2000  

Exemples

  • Deux exemples d'entiers :
− 31 10 = d 0 + d 2 ( 2 i ) 2 + d 4 ( 2 i ) 4 + d 6 ( 2 i ) 6 + ⋯ = d 0 − 4 d 2 + 16 d 4 − 64 d 6 + ⋯ ⇔ {\displaystyle -31_{10}=d_{0}+d_{2}(2{\rm {i}})^{2}+d_{4}(2{\rm {i}})^{4}+d_{6}(2{\rm {i}})^{6}+\dots =d_{0}-4d_{2}+16d_{4}-64d_{6}+\dots \Leftrightarrow }
d 0 = 1 , 8 10 = d 2 − 4 d 4 + 16 d 6 − ⋯ ⇔ {\displaystyle d_{0}=1,\quad 8_{10}=d_{2}-4d_{4}+16d_{6}-\dots \Leftrightarrow }
d 0 = 1 , d 2 = 0 , − 2 10 = d 4 − 4 d 6 + ⋯ ⇔ {\displaystyle d_{0}=1,\quad d_{2}=0,\quad -2_{10}=d_{4}-4d_{6}+\dots \Leftrightarrow }
d 0 = 1 , d 2 = 0 , d 4 = 2 , d 6 = 1 , d 8 = ⋯ = 0 {\displaystyle d_{0}=1,\quad d_{2}=0,\quad d_{4}=2,\quad d_{6}=1,\quad d_{8}=\dots =0}

donc

− 31 10 = 1020001 2 i . {\displaystyle -31_{10}=1020001_{2{\rm {i}}}.}

De même, 15 10 = 10103 2 i . {\displaystyle 15_{10}=10103_{2{\rm {i}}}.}

  • La conversion d'un nombre dyadique se ramène à celle d'un entier :
31 4 = − 31 ( 2 i ) − 2 = 10200 , 01 2 i . {\displaystyle {\frac {31}{4}}=-31(2{\rm {i}})^{-2}=10200{,}01_{2{\rm {i}}}.}
  • La conversion du produit par i d'un nombre dyadique aussi :
− 15 i 2 = 15 ( 2 i ) − 1 = 1010 , 3 2 i . {\displaystyle -{\frac {15{\rm {i}}}{2}}=15(2{\rm {i}})^{-1}=1010{,}3_{2{\rm {i}}}.}
31 4 − 15 2 i = 10200 , 01 2 i + 1010 , 3 2 i = 11210 , 31 2 i . {\displaystyle {\frac {31}{4}}-{\frac {15}{2}}{\rm {i}}=10200{,}01_{2{\rm {i}}}+1010{,}3_{2{\rm {i}}}=11210{,}31_{2{\rm {i}}}.}

Notes et références

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Quater-imaginary base » (voir la liste des auteurs).

Voir aussi

Liens externes

  • icône décorative Arithmétique et théorie des nombres