Suite à divisibilité faible ou forte

En mathématiques, la notion de suite à divisibilité faible ou forte est une notion concernant une suite d'entiers $(a_{n})_{n\geqslant 1}$ reliant la divisibilité de ses termes à celle de ses indices.

Définitions et premiers exemples

La suite $(a_{n})$ est à divisibilité faible si pour tous entiers n, k > 0, $a_{kn}$ est un multiple de $a_{n}$ , ou, autrement dit :

{\text{si }}n\mid m\,{\text{ alors }}\,a_{n}\mid a_{m}

Le concept peut être généralisé à des suites à valeurs dans un anneau.

En notant $n\land m=\operatorname {pgcd} (n,m)$ , une telle suite vérifie donc pour tous n, m :

$a_{n\land m}\mid a_{n}\land a_{m}$ .

Un exemple simple en est la suite $(a^{n}-b^{n})$ avec a et b entiers, car $a^{kn}-b^{kn}=(a^{n})^{k}-(b^{n})^{k}$ est divisible par $a^{n}-b^{n}$ d'après la formule de Bernoulli.

La suite $(a_{n})$ est à divisibilité forte si pour tous entiers n, m > 0,

a_{n}\land a_{m}=|a_{n\land m}|

Dans le cas où l'application $n\mapsto a_{n}$ est à valeurs positives, cela signifie que cette application est un morphisme pour la loi pgcd.

Toute suite à divisibilité forte est à divisibilité faible^[1] car $n\mid m$ si et seulement si $\operatorname {pgcd} (n,m)=n$ .

En plus de l'exemple trivial des suites constantes, un exemple simple est donné par les suites du type $a_{n}=kn,$ car $kn\land km=k(n\land m)$ .

Propriété permettant de passer de la divisibilité faible à la forte

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Théorème — Si la suite $(a_{n})$ est à divisibilité faible et vérifie $a_{n}\land a_{m}\mid a_{n-m}$ pour $n>m$ , alors elle est à divisibilité forte.

Démonstration

D'après la divisibilité faible, $a_{n\land m}\mid a_{n}\land a_{m}$ .
D'après la propriété supposée, $a_{n}\land a_{m}\mid a_{n-m}\land a_{m}$ pour $n>m$ donc par anthyphérèse, $a_{n}\land a_{m}\mid a_{n\land m}$ .
Nous en concluons que $a_{n\land m}=a_{n}\land a_{m}$ .

Exemples

Toute suite de Lucas du premier type U(P,Q) est à divisibilité faible, et à divisibilité forte si et seulement si P et Q sont premiers entre eux^[2]. Une démonstration se trouve dans la page sur les suites de Lucas.

En particulier sont à divisibilité forte :

La suite de Fibonacci $(F_{n})=U(1,-1)$ .
La suite de Pell $(P_{n})=U(2,-1)$ .
La suite des nombres de Mersenne $(2^{n}-1)=U(2,1)$ .
Plus généralement la suite des répunit en base b $(R_{n}^{b})=U(b+1,b)$ .
Encore plus généralement la suite $\left({\frac {a^{n}-b^{n}}{a-b}}\right)=U(a+b,ab)$ avec a et b entiers premiers entre eux.

Notes et références

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Divisibility sequence » (voir la liste des auteurs).

↑ (en) Graham Everest, Alf van der Poorten, Igor Shparlinski et Thomas Ward, Recurrence Sequences, AMS, 2003 (lire en ligne), p. 70, confondent ces deux notions.
↑ Anne Bauval, « Suites récurrentes linéaires d'ordre 2 à divisibilité forte », RMS, vol. 127, n^o 3,‎ 2017 (arXiv 1606.01594v1).

Voir aussi

Les suites à divisibilité elliptique (en), qui sont à divisibilité faible.
Les fonctions arithmétiques complètement multiplicatives, qui sont des morphismes pour le produit, au lieu du pgcd.