Relation d'Euler dans le quadrilatère

a 2 + b 2 + c 2 + d 2 = e 2 + f 2 + 4 g 2 {\displaystyle a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}=e^{2}+f^{2}+4g^{2}}

La relation d'Euler dans le quadrilatère, découverte par Leonhard Euler en 1748[1], est une relation entre les longueurs des côtés d'un quadrilatère et celles de ses diagonales. C'est une généralisation de l'égalité du parallélogramme.

Énoncé et application

Dans un quadrilatère plan A B C D {\displaystyle ABCD} de côtés de longueurs A B = a , B C = b , C D = c , D A = d {\displaystyle AB=a,BC=b,CD=c,DA=d} , de diagonales de longueurs A C = e {\displaystyle AC=e} et B D = f {\displaystyle BD=f} , g = M N {\displaystyle g=MN} étant la distance entre les milieux des deux diagonales, la relation d'Euler s'écrit :

a 2 + b 2 + c 2 + d 2 = e 2 + f 2 + 4 g 2 {\displaystyle a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}=e^{2}+f^{2}+4g^{2}}

On peut démontrer cette relation en utilisant la relation d'Al Kashi dans des triangles formés par les côtés et les diagonales de parallélogrammes auxiliaires[2].

Le quadrilatère étant un parallélogramme si et seulement si ses diagonales se coupent en leur milieu, autrement dit si et seulement si g = 0 {\displaystyle g=0} , on obtient le fait qu'un quadrilatère convexe est un parallélogramme si et seulement si la somme des carrés des longueurs de ses côtés est égale à la somme des carrés des longueurs de ses diagonales, ce qui généralise la règle du parallélogramme.

Généralisation et démonstration vectorielle

La relation ci-dessus est en fait valable pour tout quadruplet ( A , B , C , D ) {\displaystyle (A,B,C,D)} de points d'un espace affine euclidien, donc éventuellement non coplanaires, en l'écrivant sous la forme :

A B 2 + B C 2 + C D 2 + A D 2 = A C 2 + B D 2 + 4 M N 2 {\displaystyle AB^{2}+BC^{2}+CD^{2}+AD^{2}=AC^{2}+BD^{2}+4MN^{2}}

où M  et  N {\displaystyle M{\text{ et }}N} sont les milieux de [ A C ] {\displaystyle [AC]} et [ B D ] {\displaystyle [BD]} .

Si l'on pose a → = A B → , b → = B C → , c → = C D → {\displaystyle {\overrightarrow {a}}={\overrightarrow {AB}},{\overrightarrow {b}}={\overrightarrow {BC}},{\overrightarrow {c}}={\overrightarrow {CD}}} , alors A D → = a → + b → + c → {\displaystyle {\overrightarrow {AD}}={\overrightarrow {a}}+{\overrightarrow {b}}+{\overrightarrow {c}}} et 2 M N → = O B → + O D → − ( O A → + O C → ) = A B → + C D → = a → + c → {\displaystyle 2{\overrightarrow {MN}}={\overrightarrow {OB}}+{\overrightarrow {OD}}-({\overrightarrow {OA}}+{\overrightarrow {OC}})={\overrightarrow {AB}}+{\overrightarrow {CD}}={\overrightarrow {a}}+{\overrightarrow {c}}}  ; la relation d'Euler s'écrit donc :

a → 2 + b → 2 + c → 2 + ( a → + b → + c → ) 2 = ( a → + b → ) 2 + ( b → + c → ) 2 + ( c → + a → ) 2 {\displaystyle {\overrightarrow {a}}^{2}+{\overrightarrow {b}}^{2}+{\overrightarrow {c}}^{2}+({\overrightarrow {a}}+{\overrightarrow {b}}+{\overrightarrow {c}})^{2}=({\overrightarrow {a}}+{\overrightarrow {b}})^{2}+({\overrightarrow {b}}+{\overrightarrow {c}})^{2}+({\overrightarrow {c}}+{\overrightarrow {a}})^{2}}

ce qui se montre facilement en développant.

Notes et références

  1. ↑ (la) Leonhard Euler, Opera omnia, série 1, 26, p. 29-32
  2. ↑ (en) Deanna Haunsperger, Stephen Kennedy, The Edge of the Universe: Celebrating Ten Years of Math Horizons, MAA, (lire en ligne), p. 139

Voir aussi

Lien externe

  • Eric W. Weisstein, "Quadrilateral" ; MathWorld.
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