Rayon de convergence

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Le rayon de convergence d'une série entière est le nombre réel positif ou +∞ égal à la borne supérieure de l'ensemble des modules des nombres complexes où la série converge (au sens classique de la convergence simple):

R = sup { | z | : z ∈ C , ∑ a n z n  converge simplement  } ∈ [ 0 , + ∞ ] = R + ¯ . {\displaystyle R=\sup \left\{|z|:z\in \mathbb {C} ,\sum a_{n}z^{n}{\text{ converge simplement }}\right\}\in \,[0,+\infty ]={\overline {\mathbb {R} ^{+}}}.}

Propriétés

Si R est le rayon de convergence d'une série entière, alors la série est absolument convergente sur le disque ouvert D(0, R) de centre 0 et de rayon R. Ce disque est appelé disque de convergence. Cette convergence absolue entraine ce qui est parfois qualifié de convergence inconditionnelle : la valeur de la somme en tout point de ce disque ne dépend pas de l'ordre des termes. Par exemple, on a :

  • ∑ n = 0 ∞ a n z n = ∑ n = 0 ∞ a 2 n z 2 n + ∑ n = 0 ∞ a 2 n + 1 z 2 n + 1 {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{a_{n}z^{n}}=\sum _{n=0}^{\infty }a_{2n}z^{2n}+\sum _{n=0}^{\infty }a_{2n+1}z^{2n+1}}  ;
  • ∑ n = 0 ∞ ∑ k = 0 ∞ a n b k z n + k = ( ∑ n = 0 ∞ a n z n ) ( ∑ k = 0 ∞ b k z k )     ∀ | z | < min ( R 1 , R 2 ) {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }\sum _{k=0}^{\infty }{a_{n}b_{k}z^{n+k}}=\left(\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}z^{n}\right)\left(\sum _{k=0}^{\infty }b_{k}z^{k}\right)\ \ \forall |z|<\min(R_{1},R_{2})} , où R 1 {\displaystyle R_{1}} et R 2 {\displaystyle R_{2}} sont les rayons de convergence des deux séries entières (voir Produit de Cauchy).

Si la série entière ∑ n = 0 ∞ a n z n {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{a_{n}z^{n}}} a pour rayon de convergence R, alors :

  • la convergence est même normale (donc uniforme) sur tout compact inclus dans D(0, R) ;
  • pour tout complexe z tel que |z| > R, la série diverge grossièrement ;
  • pour tout complexe z tel que |z| = R, la série peut soit diverger, soit converger ;
  • l'inverse du rayon R est donné par le théorème de Cauchy-Hadamard : 1 R = lim sup n → ∞ | a n | n ≤ lim sup n → ∞ | a n + 1 a n | {\displaystyle {\frac {1}{R}}=\limsup _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{|a_{n}|}}\leq \limsup _{n\to \infty }\left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|} , où lim sup désigne la limite supérieure ;
  • si R est non nul, alors la somme f de la série entière est une fonction holomorphe sur D(0, R), où l'on a
    f ( k ) ( z ) = ∑ n = k ∞ n ! ( n − k ) ! a n z n − k {\displaystyle f^{(k)}(z)=\sum _{n=k}^{\infty }{\frac {n!}{(n-k)!}}a_{n}z^{n-k}}  ;
  • si le rayon R est infini, alors la série entière est appelée fonction entière.
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