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Radical de Jacobson

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En algèbre, le radical de Jacobson d'un anneau commutatif est l'intersection de ses idéaux maximaux. Cette notion est due à Nathan Jacobson qui le premier en a fait l'étude systématique. Un élément x appartient au radical de Jacobson de l'anneau A si et seulement si 1 + ax est inversible pour tout a de A.

Démonstration

Notons J le radical de Jacobson de l'anneau commutatif A et exploitons le fait que (d'après le théorème de Krull) 1 + ax est non inversible si et seulement s'il appartient à un idéal maximal.

Si x n'appartient pas à J, soit M un idéal maximal ne contenant pas x. Alors M + Ax = A donc il existe m dans M et a dans A tels que 1 = m – ax, et 1 + ax n'est pas inversible.
Réciproquement, si, pour un certain a dans A, 1 + ax appartient à un idéal maximal M, alors M ne contient pas x, donc x n'appartient pas à J.

Dans le cas non commutatif, on définit le radical de Jacobson comme étant l'intersection de tous les idéaux maximaux à gauche et l'on a encore : x appartient au radical si et seulement si tous les 1 + ax sont inversibles à gauche^[1]. C'est un idéal bilatère et on aurait pu définir de manière équivalente le radical de Jacobson comme l'intersection de tous les idéaux maximaux à droite^[1].

Note et référence

↑ ^{a et b} (en) Tsit Yuen Lam, A First Course in Noncommutative Rings, Springer, coll. « GTM » (n^o 131), 2001, 2^e éd. (1^re éd. 1991), 385 p. (ISBN 978-0-387-95183-6, lire en ligne), p. 50-51.