Profondeur d'un module

En algèbre commutative, la profondeur d'un module sur un anneau commutatif anneau ${\displaystyle A}$ est une concept qui intervient notamment dans la définition d'un anneau de Cohen-Macaulay : ce dernier est caractérisé par le fait que pour tout idéal premier ${\displaystyle P}$ de ${\displaystyle A}$, l'anneau local ${\displaystyle A_{P}}$ est de profondeur (en tant que ${\displaystyle A_{P}}$-module) égale à sa dimension de Krull, au sens des définitions données ci-dessous.

Définitions

Soit ${\displaystyle M}$ un module sur un anneau commutatif ${\displaystyle A}$. Un élément ${\displaystyle a}$ de ${\displaystyle A}$ est dit ${\displaystyle M}$-régulier si le seul vecteur ${\displaystyle x}$ de ${\displaystyle M}$ tel que ${\displaystyle ax=0}$ est le vecteur nul. Les éléments ${\displaystyle A}$-réguliers sont donc exactement les éléments réguliers ${\displaystyle A}$ (éléments non diviseurs de 0).

Une suite ${\displaystyle (a_{1},\ldots ,a_{n})}$ d'éléments de ${\displaystyle A}$ est une une suite ${\displaystyle M}$-régulière si pour tout ${\displaystyle i<n}$, l'élément ${\displaystyle a_{i}}$ est régulier pour le module ${\displaystyle M/(a_{1}M+\dots +a_{i-1}M)}$.

Lorsque ${\displaystyle A}$ est un anneau noethérien, ${\displaystyle M}$ est de type fini et ${\displaystyle I}$ est un idéal de ${\displaystyle A}$ tel que ${\displaystyle IM\neq M}$ , le plus grand entier ${\displaystyle n}$ tel qu'il existe une suite ${\displaystyle M}$-régulière d'éléments appartenant à ${\displaystyle I}$ est appelé la ${\displaystyle I}$-profondeur de ${\displaystyle M}$. Si de plus ${\displaystyle A}$ est local d'idéal maximal ${\displaystyle m}$, la ${\displaystyle m}$-profondeur de ${\displaystyle M}$ est simplement appelée la profondeur de ${\displaystyle M}$.

Un anneau noethérien ${\displaystyle M}$ est un anneau de Cohen-Macaulay si pour tout idéal premier ${\displaystyle P}$ de ${\displaystyle A}$, l'anneau local ${\displaystyle A_{P}}$ est de profondeur (en tant que ${\displaystyle A_{P}}$-module) égale à sa dimension de Krull.

Exemples

1. Tout anneau local régulier est un anneau de Cohen-Macaulay.
2. Soit ${\displaystyle A}$ le localisé de ${\displaystyle \mathbb {C} [x,y]/(xy,y^{2})}$ en l'idéal maximal engendré par ${\displaystyle x,y}$. C'est un anneau de dimension 1, mais de profondeur nulle car tout élément de son idéal maximal est diviseur de 0.

Propriétés

Soient ${\displaystyle A}$, ${\displaystyle B}$ des anneaux locaux noethériens, soit ${\displaystyle A\to B}$ un morphisme plat et ${\displaystyle M}$ un ${\displaystyle A}$-module de type fini. Alors

${\displaystyle \mathrm {prof} _{B}(M\otimes _{A}B)=\mathrm {prof} _{A}(M)+\mathrm {prof} _{B\otimes _{A}k}(M\otimes _{A}k)}$,

où ${\displaystyle k}$ est le corps résiduel de ${\displaystyle A}$^[1] .

Référence

Bibliographie

(en) Hideyuki Matsumura, Commutative Algebra, Benjamin Cummings, 1980, 2^e éd., chap. 6

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