Problème des quatre cubes

Le problème des quatre cubes[1] consiste à demander si tout entier relatif est la somme de quatre cubes d'entiers relatifs.

En faisant X = T, Y = T, Z = - T + 1 dans l'identité

( X + Y + Z ) 3 − X 3 − Y 3 − Z 3 = 3 ( X + Y ) ( X + Z ) ( Y + Z ) , {\displaystyle \qquad (X+Y+Z)^{3}-X^{3}-Y^{3}-Z^{3}=3(X+Y)(X+Z)(Y+Z),}

on obtient l'identité

( T + 1 ) 3 + ( − T ) 3 + ( − T ) 3 + ( T − 1 ) 3 = 6 T , {\displaystyle \qquad (T+1)^{3}+(-T)^{3}+(-T)^{3}+(T-1)^{3}=6T,}

qui montre que dans tout anneau, tout multiple de 6 (si on entend par là un élément de cet anneau de la forme 6a, a étant lui-même un élément de l'anneau) est somme de quatre cubes.

Puisque tout entier relatif est congru dans ℤ à son propre cube modulo 6, il en résulte que tout entier relatif est la somme de cinq cubes d'entiers relatifs.

Selon une conjecture encore ouverte[2], tout entier relatif serait la somme de quatre cubes d'entiers relatifs.

En 1966, V. A. Demjanenko a prouvé que tout entier relatif qui n'est congru ni à 4 ni à - 4 modulo 9 est la somme de quatre cubes d'entiers relatifs. Pour cela, il a notamment utilisé les identités suivantes :

6 x = ( x + 1 ) 3 + ( x − 1 ) 3 − x 3 − x 3 , {\displaystyle \qquad 6x=(x+1)^{3}+(x-1)^{3}-x^{3}-x^{3},}
6 x + 3 = x 3 + ( − x + 4 ) 3 + ( 2 x − 5 ) 3 + ( − 2 x + 4 ) 3 , {\displaystyle \qquad 6x+3=x^{3}+(-x+4)^{3}+(2x-5)^{3}+(-2x+4)^{3},}
18 x + 1 = ( 2 x + 14 ) 3 + ( − 2 x − 23 ) 3 + ( − 3 x − 26 ) 3 + ( 3 x + 30 ) 3 , {\displaystyle \qquad 18x+1=(2x+14)^{3}+(-2x-23)^{3}+(-3x-26)^{3}+(3x+30)^{3},}
18 x + 7 = ( x + 2 ) 3 + ( 6 x − 1 ) 3 + ( 8 x − 2 ) 3 + ( − 9 x + 2 ) 3 , {\displaystyle \qquad 18x+7=(x+2)^{3}+(6x-1)^{3}+(8x-2)^{3}+(-9x+2)^{3},}
18 x + 8 = ( x − 5 ) 3 + ( − x + 14 ) 3 + ( − 3 x + 29 ) 3 + ( 3 x − 30 ) 3 . {\displaystyle \qquad 18x+8=(x-5)^{3}+(-x+14)^{3}+(-3x+29)^{3}+(3x-30)^{3}.}

Ces identités (et celles qu'on en tire par passage aux opposés) montrent immédiatement que tout entier relatif qui n'est congru ni à 4 ni à -4 modulo 9 et n'est congru ni à 2 ni à -2 modulo 18 est somme de quatre cubes d'entiers relatifs. À l'aide de raisonnements plus subtils, Demjanenko a prouvé que les entiers relatifs congrus à 2 ou à - 2 modulo 18 sont eux aussi sommes de quatre cubes d'entiers relatifs[3].

Le problème ne se pose donc plus que pour les entiers relatifs congrus à 4 ou à -4 modulo 9. On a par exemple

13 = 10 3 + 7 3 + 1 3 + ( − 11 ) 3 . {\displaystyle \qquad 13=10^{3}+7^{3}+1^{3}+(-11)^{3}.}

Notes et références

  1. ↑ Désigné comme « four cube problem » dans H. Davenport, The Higher Arithmetic: An Introduction to the Theory of Numbers, Cambridge University Press, 7e édition, 1999, p. 173, 177.
  2. ↑ Du moins en 1982. Voir Philippe Revoy, « Sur les sommes de quatre cubes », L'Enseignement mathématique, t. 29, 1983, p. 209-220, en ligne sur le site retro.seals.ch de l'ETH-Bibliothek, p. 209 sur le point en question.
  3. ↑ V.A. Demjanenko, « On sums of four cubes », Izvestiya Vysshikh Uchebnykh Zavedenii. Matematika, vol. 54, n° 5, 1966, p. 63-69, consultable en ligne sur le site Math-Net.Ru. Pour une démonstration en français, voir Philippe Revoy, « Sur les sommes de quatre cubes », L'Enseignement Mathématique, t. 29, 1983, p. 209-220, en ligne sur le site retro.seals.ch de l'ETH-Bibliothek.

Articles connexes

  • icône décorative Arithmétique et théorie des nombres