Pôle (mathématiques)

Page d’aide sur l’homonymie

Pour les articles homonymes, voir Pôle.

Représentation de la fonction f : z ↦ {\displaystyle \mapsto } 1 / (1 + z²) avec deux pôles d'ordre 1, en z = i et z = -i.

En analyse complexe, un pôle d'une fonction holomorphe est un certain type de singularité isolée qui se comporte comme la singularité en z = 0 de la fonction z ∈ C ∗ ↦ z − n ∈ C {\displaystyle z\in \mathbb {C} ^{*}\mapsto z^{-n}\in \mathbb {C} } , où n est un entier naturel non nul.

Une fonction holomorphe n'ayant que des singularités isolées qui sont des pôles est appelée une fonction méromorphe.

Définition et propriétés

Soient U un ouvert du plan complexe ℂ, a un élément de U et f : U ∖ { a } → C {\displaystyle f:U\setminus \{a\}\to \mathbb {C} } une fonction holomorphe. On dit que a est un pôle de f (ou que f admet un pôle en a) s'il existe une fonction g holomorphe sur un voisinage V ⊂ U de a telle que g ( a ) ≠ 0 {\displaystyle g(a)\neq 0} et un entier n ≥ 1 tels que pour tout z dans V\{a} on ait

f ( z ) = g ( z ) ( z − a ) n {\displaystyle f(z)={\frac {g(z)}{(z-a)^{n}}}} .

Une telle écriture est alors unique et l'entier n est appelé l'ordre du pôle. Un pôle d'ordre 1 est appelé parfois pôle simple.

Un pôle de f est un point en lequel |f| tend vers l'infini.

Le point a est un pôle de f si (et seulement si) au voisinage de a, f n'est pas bornée et 1/f est bornée.

Exemples et contre-exemples

  • La fonction
f ( z ) = 3 z {\displaystyle f(z)={\frac {3}{z}}}
a un pôle d'ordre 1 (ou pôle simple) en z = 0 {\displaystyle z=0} .
  • La fonction
f ( z ) = z + 2 ( z − 5 ) 2 ( z + 7 ) 3 {\displaystyle f(z)={\frac {z+2}{(z-5)^{2}(z+7)^{3}}}}
a un pôle d'ordre 2 en z = 5 {\displaystyle z=5} et un pôle d'ordre 3 en z = − 7 {\displaystyle z=-7} .
  • La fonction
f ( z ) = sin ⁡ z z 3 {\displaystyle f(z)={\frac {\sin z}{z^{3}}}}
a un pôle d'ordre 2 en z = 0 {\displaystyle z=0} , car sin ⁡ z {\displaystyle \sin z} est équivalent à z {\displaystyle z} au voisinage de z = 0 {\displaystyle z=0} (cela se montre par exemple en utilisant la série de Taylor de la fonction sinus à l'origine).
  • Contrairement aux apparences, la fonction
f ( z ) = sin ⁡ z z {\displaystyle f(z)={\frac {\sin z}{z}}}
n'admet pas un pôle en z = 0 {\displaystyle z=0} , car en raison de l'équivalent évoqué à l'exemple précédent, f ( z ) {\displaystyle f(z)} est équivalent à 1 au voisinage de z = 0 {\displaystyle z=0} . En particulier, f {\displaystyle f} reste bornée au voisinage de l'origine, donc z = 0 {\displaystyle z=0} n'est pas un pôle de f {\displaystyle f} . On peut alors prolonger f {\displaystyle f} en une fonction holomorphe sur C {\displaystyle \mathbb {C} } tout entier. On dit que z = 0 {\displaystyle z=0} est une singularité effaçable de f {\displaystyle f} .
  • La fonction
f ( z ) = exp ⁡ ( 1 z ) {\displaystyle f(z)=\exp \left({\frac {1}{z}}\right)}
n'admet pas un pôle en z = 0 {\displaystyle z=0} . En effet f {\displaystyle f} et 1 / f {\displaystyle 1/f} sont toutes les deux non bornées au voisinage de z = 0 {\displaystyle z=0} . On parle alors de singularité essentielle et non plus de pôle.

Voir aussi

  • Zéro (analyse complexe)
  • Résidu (analyse complexe)
  • Fonction rationnelle
  • icône décorative Portail de l'analyse