Nombre de Heegner

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En théorie des nombres, un nombre de Heegner est un entier positif n sans facteur carré tel que l'anneau des entiers du corps quadratique imaginaire ℚ[i√n] est principal (ou encore : factoriel, ce qui ici est équivalent car l'anneau est de Dedekind).

Le théorème de Stark-Heegner indique qu'il y a exactement neuf nombres de Heegner[1] :

1, 2, 3, 7, 11, 19, 43, 67 et 163 (suite A003173 de l'OEIS).

Ce résultat était conjecturé par Gauss et démontré, à quelques erreurs près, par Kurt Heegner en 1952. Alan Baker et Harold Stark ont indépendamment démontré la conjecture en 1966, et Stark a comblé la preuve de Heegner[2].

La détermination de ces nombres est un cas particulier du problème du nombre de classes, et ils sous-tendent plusieurs résultats arithmétiques frappants. Par exemple, pour certains nombres de Heegner d, le nombre e π d {\displaystyle \mathrm {e} ^{\pi {\sqrt {d}}}} est presque entier.

Polynôme d'Euler générateur de nombres premiers

Le polynôme d'Euler

n 2 + n + 41 , {\displaystyle n^{2}+n+41,}

qui donne des nombres premiers pour n = 0, ..., 39, est lié au nombre de Heegner 163 = 4×41 − 1.

Rabinowitsch (en)[3] a montré que

n 2 + n + p {\displaystyle n^{2}+n+p}
donne des nombres premiers pour n = 0 , … , p − 2 {\displaystyle n=0,\dots ,p-2} si et seulement si son discriminant 1 − 4 p {\displaystyle 1-4p} est l'opposé d'un nombre de Heegner.

(Remarquons que ( p − 1 ) 2 + ( p − 1 ) + p = p 2 {\displaystyle (p-1)^{2}+(p-1)+p=p^{2}} , de sorte que p − 2 {\displaystyle p-2} est maximal.)

Les nombres de Heegner 1, 2, et 3 n'étant pas de la forme 4p − 1 avec p ≥ 2, les nombres de Heegner qui fonctionnent sont donc 7, 11, 19, 43, 67, 163, ce qui correspond aux coefficients p = 2, 3, 5, 11, 17, 41 ; ces derniers ont été nommés nombres chanceux d'Euler par François Le Lionnais[4].

Presque entiers et constante de Ramanujan

La constante de Ramanujan est le nombre eπ√163, qui est à la fois transcendant (comme eπγ pour tout nombre algébrique non nul γ, d'après le théorème de Gelfond-Schneider) et presque entier[5] :

e π 163 = 262 537 412 640 768 743,999 999 999 999 25 … ≈ 640 320 3 + 744. {\displaystyle \mathrm {e} ^{\pi {\sqrt {163}}}=262\,537\,412\,640\,768\,743{,}999\,999\,999\,999\,25\ldots \approx 640\,320^{3}+744.}
Ce nombre a été découvert en 1859 par le mathématicien Charles Hermite[6]. Cette coïncidence est due à la multiplication complexe et au q-développement du j-invariant.

Détail

Cela s'explique, en bref, par le fait que j ( 1 + − d 2 ) {\displaystyle j\left({\frac {1+{\sqrt {-d}}}{2}}\right)} est entier lorsque d est de Heegner, et

e π d ≈ − j ( 1 + − d 2 ) + 744 {\displaystyle \mathrm {e} ^{\pi {\sqrt {d}}}\approx -j\left({\frac {1+{\sqrt {-d}}}{2}}\right)+744}
par q-développement.

Si τ {\displaystyle \tau } est un irrationnel quadratique, alors le j-invariant est un entier algébrique de degré égal au nombre de classes de Q ( τ ) {\displaystyle \mathbb {Q} (\tau )} . Ainsi, si l'extension quadratique imaginaire Q ( τ ) = Q ( 1 + − d 2 ) {\displaystyle \mathbb {Q} (\tau )=\mathbb {Q} \left({\frac {1+{\sqrt {-d}}}{2}}\right)} a un nombre de classes égal à 1 (donc si d est un nombre de Heegner), alors le j-invariant est entier.

Le q-développement de j, son développement en série de Fourier en q = e 2 π i τ {\displaystyle q=\mathrm {e} ^{2\pi \mathrm {i} \tau }} s'écrit :

j ( τ ) = 1 q + 744 + 196 884 q + ⋯ . {\displaystyle j(\tau )={\frac {1}{q}}+744+196\,884q+\cdots .}
Les coefficients c n {\displaystyle c_{n}} croissent asymptotiquement comme
ln ⁡ c n = 4 π n + O ( ln ⁡ n ) , {\displaystyle \ln c_{n}=4\pi {\sqrt {n}}+O\left(\ln n\right),}
et les termes suivants croissent moins vite que 200 000 n {\displaystyle 200\,000^{n}} [pas clair]. Donc pour q ≪ 1 200 000 {\displaystyle \textstyle q\ll {\frac {1}{200\,000}}} , j est bien approximé par ses deux premiers termes. Posons τ = 1 + − 163 2 {\displaystyle \tau ={\frac {1+{\sqrt {-163}}}{2}}} d'où
q = − e − π 163 donc 1 q = − e π 163 . {\displaystyle q=-\mathrm {e} ^{-\pi {\sqrt {163}}}\quad {\text{donc}}\quad {\frac {1}{q}}=-\mathrm {e} ^{\pi {\sqrt {163}}}.}
Or
j ( 1 + − 163 2 ) = − 640 320 3 {\displaystyle j\left({\frac {1+{\sqrt {-163}}}{2}}\right)=-640\,320^{3}}
donc
− 640 320 3 ≈ − e π 163 + 744 , {\displaystyle -640\,320^{3}\approx -\mathrm {e} ^{\pi {\sqrt {163}}}+744,}
c'est-à-dire
e π 163 ≈ 640 320 3 + 744. {\displaystyle \mathrm {e} ^{\pi {\sqrt {163}}}\approx 640\,320^{3}+744.}
Le terme d'erreur est donné par
− 196 884 e π 163 ≈ − 196 884 640 320 3 + 744 ≈ − 0,000 000 000 000 75 , {\displaystyle {\frac {-196\,884}{\mathrm {e} ^{\pi {\sqrt {163}}}}}\approx {\frac {-196\,884}{640\,320^{3}+744}}\approx -0{,}000\,000\,000\,000\,75,}
[réf. nécessaire]ce qui explique pourquoi e π 163 {\displaystyle \mathrm {e} ^{\pi {\sqrt {163}}}} est très proche d'un entier.

Formules autour de pi

Les frères Chudnosky trouvent en 1987 que

1 π = 12 640 320 3 2 ∑ k = 0 ∞ ( 6 k ) ! ( 163 ⋅ 3 344 418 k + 13 591 409 ) ( 3 k ) ! ( k ! ) 3 ( − 640 320 ) 3 k , {\displaystyle {\frac {1}{\pi }}={\frac {12}{640\,320^{\frac {3}{2}}}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(6k)!(163\cdot 3\,344\,418k+13\,591\,409)}{(3k)!(k!)^{3}(-640\,320)^{3k}}},}
en utilisant le fait que
j ( 1 + − 163 2 ) = − 640 320 3 . {\displaystyle j\left({\frac {1+{\sqrt {-163}}}{2}}\right)=-640\,320^{3}.}
D'autres séries similaires existent, cf. Série de Ramanujan-Sato (en).

Autres nombres de Heegner

Pour les quatre nombres de Heegner les plus grands, on obtient les approximations suivantes[7],

e π 19 ≈ 12 3 ( 3 2 − 1 ) 3 00 + 744 − 0 , 22 = 000 0 96 3 + 744 − 0 , 22 e π 43 ≈ 12 3 ( 9 2 − 1 ) 3 00 + 744 − 0,000 22 = 000 960 3 + 744 − 0,000 22 e π 67 ≈ 12 3 ( 21 2 − 1 ) 3 0 + 744 − 0,000 0013 = 00 5 280 3 + 744 − 0,000 0013 e π 163 ≈ 12 3 ( 231 2 − 1 ) 3 + 744 − 0,000 000 000 000 75 = 640 320 3 + 744 − 0,000 000 000 000 75 {\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {e} ^{\pi {\sqrt {19}}}&\approx 12^{3}\left(3^{2}-1\right)^{3}{\color {white}00}+744-0{,}22={\color {white}000\,0}96^{3}+744-0{,}22\\\mathrm {e} ^{\pi {\sqrt {43}}}&\approx 12^{3}\left(9^{2}-1\right)^{3}{\color {white}00}+744-0{,}000\,22={\color {white}000\,}960^{3}+744-0{,}000\,22\\\mathrm {e} ^{\pi {\sqrt {67}}}&\approx 12^{3}\left(21^{2}-1\right)^{3}{\color {white}0}+744-0{,}000\,0013={\color {white}00}5\,280^{3}+744-0{,}000\,0013\\\mathrm {e} ^{\pi {\sqrt {163}}}&\approx 12^{3}\left(231^{2}-1\right)^{3}+744-0{,}000\,000\,000\,000\,75=640\,320^{3}+744-0{,}000\,000\,000\,000\,75\end{aligned}}}
où le carré provient de certaines séries d'Eisenstein. Pour les nombres de Heegner d < 19 {\displaystyle d<19} , les nombres obtenus ne sont pas proches d'entiers. Les j-invariants sont fortement factorisables :
j ( 1 + − 19 2 ) = 000 0 96 3 = ( 2 5 ⋅ 3 ) 3 j ( 1 + − 43 2 ) = 000 960 3 = ( 2 6 ⋅ 3 ⋅ 5 ) 3 j ( 1 + − 67 2 ) = 00 5 280 3 = ( 2 5 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ 11 ) 3 j ( 1 + − 163 2 ) = 640 320 3 = ( 2 6 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ 23 ⋅ 29 ) 3 . {\displaystyle {\begin{aligned}j\left({\frac {1+{\sqrt {-19}}}{2}}\right)&={\color {white}000\,0}96^{3}=\left(2^{5}\cdot 3\right)^{3}\\j\left({\frac {1+{\sqrt {-43}}}{2}}\right)&={\color {white}000\,}960^{3}=\left(2^{6}\cdot 3\cdot 5\right)^{3}\\j\left({\frac {1+{\sqrt {-67}}}{2}}\right)&={\color {white}00}5\,280^{3}=\left(2^{5}\cdot 3\cdot 5\cdot 11\right)^{3}\\j\left({\frac {1+{\sqrt {-163}}}{2}}\right)&=640\,320^{3}=\left(2^{6}\cdot 3\cdot 5\cdot 23\cdot 29\right)^{3}.\end{aligned}}}
Ces nombres transcendants, en plus d'être proche d'entiers (c'est-à-dire proches d'entiers algébriques de degré 1), sont aussi approximés par des nombres algébriques de degré 3[8],
e π 19 ≈ x 24 − 24,000 31 ; x 3 − 2 x − 2 = 0 e π 43 ≈ x 24 − 24,000 000 31 ; x 3 − 2 x 2 − 2 = 0 e π 67 ≈ x 24 − 24,000 000 0019 ; x 3 − 2 x 2 − 2 x − 2 = 0 e π 163 ≈ x 24 − 24,000 000 000 000 0011 ; x 3 − 6 x 2 + 4 x − 2 = 0 {\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {e} ^{\pi {\sqrt {19}}}&\approx x^{24}-24{,}000\,31;&x^{3}-2x-2&=0\\\mathrm {e} ^{\pi {\sqrt {43}}}&\approx x^{24}-24{,}000\,000\,31;&x^{3}-2x^{2}-2&=0\\\mathrm {e} ^{\pi {\sqrt {67}}}&\approx x^{24}-24{,}000\,000\,0019;&x^{3}-2x^{2}-2x-2&=0\\\mathrm {e} ^{\pi {\sqrt {163}}}&\approx x^{24}-24{,}000\,000\,000\,000\,0011;&\quad x^{3}-6x^{2}+4x-2&=0\end{aligned}}}
Les racines des polynômes de droite peuvent être explicités en fonction de la fonction êta de Dedekind η(τ), une forme modulaire impliquant une racine 24-ième, cause de l'exposant 24 ci-dessus. De même par des nombres algébriques de degré 4[9],
e π 19 ≈ 3 5 ( 3 − 2 ( 1 − 96 24 + 1 3 ⋅ 19 ) ) − 2 − 12,000 06 … e π 43 ≈ 3 5 ( 9 − 2 ( 1 − 960 24 + 7 3 ⋅ 43 ) ) − 2 − 12,000 000 061 … e π 67 ≈ 3 5 ( 21 − 2 ( 1 − 5 280 24 + 31 3 ⋅ 67 ) ) − 2 − 12,000 000 000 36 … e π 163 ≈ 3 5 ( 231 − 2 ( 1 − 640 320 24 + 2 413 3 ⋅ 163 ) ) − 2 − 12,000 000 000 000 000 21 … {\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {e} ^{\pi {\sqrt {19}}}&\approx 3^{5}\left(3-{\sqrt {2\left(1-{\tfrac {96}{24}}+1{\sqrt {3\cdot 19}}\right)}}\right)^{-2}-12{,}000\,06\dots \\\mathrm {e} ^{\pi {\sqrt {43}}}&\approx 3^{5}\left(9-{\sqrt {2\left(1-{\tfrac {960}{24}}+7{\sqrt {3\cdot 43}}\right)}}\right)^{-2}-12{,}000\,000\,061\dots \\\mathrm {e} ^{\pi {\sqrt {67}}}&\approx 3^{5}\left(21-{\sqrt {2\left(1-{\tfrac {5\,280}{24}}+31{\sqrt {3\cdot 67}}\right)}}\right)^{-2}-12{,}000\,000\,000\,36\dots \\\mathrm {e} ^{\pi {\sqrt {163}}}&\approx 3^{5}\left(231-{\sqrt {2\left(1-{\tfrac {640\,320}{24}}+2\,413{\sqrt {3\cdot 163}}\right)}}\right)^{-2}-12{,}000\,000\,000\,000\,000\,21\dots \end{aligned}}}
Si x {\displaystyle x} désigne les expressions entre parenthèses (e.g. x = 3 − 2 ( 1 − 96 24 + 1 3 ⋅ 19 ) {\displaystyle x=3-{\sqrt {2\left(1-{\tfrac {96}{24}}+1{\sqrt {3\cdot 19}}\right)}}} ), les équations quartiques sont respectivement satisfaites:
x 4 − 00 4 ⋅ 3 x 3 + 000 0 2 3 ( 96 + 3 ) x 2 − 000 000 2 3 ⋅ 3 ( 96 − 6 ) x − 3 = 0 x 4 − 00 4 ⋅ 9 x 3 + 000 2 3 ( 960 + 3 ) x 2 − 000 00 2 3 ⋅ 9 ( 960 − 6 ) x − 3 = 0 x 4 − 0 4 ⋅ 21 x 3 + 00 2 3 ( 5 280 + 3 ) x 2 − 000 2 3 ⋅ 21 ( 5 280 − 6 ) x − 3 = 0 x 4 − 4 ⋅ 231 x 3 + 2 3 ( 640 320 + 3 ) x 2 − 2 3 ⋅ 231 ( 640 320 − 6 ) x − 3 = 0 {\displaystyle {\begin{aligned}x^{4}-{\color {white}00}4\cdot 3x^{3}+{\color {white}000\,0}{\tfrac {2}{3}}(96+3)x^{2}-{\color {white}000\,000}{\tfrac {2}{3}}\cdot 3(96-6)x-3&=0\\x^{4}-{\color {white}00}4\cdot 9x^{3}+{\color {white}000\,}{\tfrac {2}{3}}(960+3)x^{2}-{\color {white}000\,00}{\tfrac {2}{3}}\cdot 9(960-6)x-3&=0\\x^{4}-{\color {white}0}4\cdot 21x^{3}+{\color {white}00}{\tfrac {2}{3}}(5\,280+3)x^{2}-{\color {white}000}{\tfrac {2}{3}}\cdot 21(5\,280-6)x-3&=0\\x^{4}-4\cdot 231x^{3}+{\tfrac {2}{3}}(640\,320+3)x^{2}-{\tfrac {2}{3}}\cdot 231(640\,320-6)x-3&=0\\\end{aligned}}}
Notons à nouveau l'apparition des entiers n = 3 , 9 , 21 , 231 {\displaystyle n=3,9,21,231} .

De même, par des nombres algébriques de degré 6,

e π 19 ≈ ( 5 x ) 3 − 6,000 010 … e π 43 ≈ ( 5 x ) 3 − 6,000 000 010 … e π 67 ≈ ( 5 x ) 3 − 6,000 000 000 061 … e π 163 ≈ ( 5 x ) 3 − 6,000 000 000 000 000 034 … {\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {e} ^{\pi {\sqrt {19}}}&\approx \left(5x\right)^{3}-6{,}000\,010\dots \\\mathrm {e} ^{\pi {\sqrt {43}}}&\approx \left(5x\right)^{3}-6{,}000\,000\,010\dots \\\mathrm {e} ^{\pi {\sqrt {67}}}&\approx \left(5x\right)^{3}-6{,}000\,000\,000\,061\dots \\\mathrm {e} ^{\pi {\sqrt {163}}}&\approx \left(5x\right)^{3}-6{,}000\,000\,000\,000\,000\,034\dots \end{aligned}}}
où les x sont respectivement donnés par
5 x 6 − 000 0 96 x 5 − 10 x 3 + 1 = 0 5 x 6 − 000 960 x 5 − 10 x 3 + 1 = 0 5 x 6 − 00 5 280 x 5 − 10 x 3 + 1 = 0 5 x 6 − 640 320 x 5 − 10 x 3 + 1 = 0 {\displaystyle {\begin{aligned}5x^{6}-{\color {white}000\,0}96x^{5}-10x^{3}+1&=0\\5x^{6}-{\color {white}000\,}960x^{5}-10x^{3}+1&=0\\5x^{6}-{\color {white}00}5\,280x^{5}-10x^{3}+1&=0\\5x^{6}-640\,320x^{5}-10x^{3}+1&=0\end{aligned}}}
avec une nouvelle apparition des j-invariants.

Ces approximations algébriques peuvent être exprimées explicitement en fonction de la fonction êta de Dedekind. Par exemple, si τ = 1 + − 163 2 {\displaystyle \tau ={\frac {1+{\sqrt {-163}}}{2}}} , alors,

e π 163 = ( e π i 24 η ( τ ) η ( 2 τ ) ) 24 − 24,000 000 000 000 001 05 … e π 163 = ( e π i 12 η ( τ ) η ( 3 τ ) ) 12 − 12,000 000 000 000 000 21 … e π 163 = ( e π i 6 η ( τ ) η ( 5 τ ) ) 6 − 6,000 000 000 000 000 034 … {\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {e} ^{\pi {\sqrt {163}}}&=\left({\frac {\mathrm {e} ^{\frac {\pi i}{24}}\eta (\tau )}{\eta (2\tau )}}\right)^{24}-24{,}000\,000\,000\,000\,001\,05\dots \\\mathrm {e} ^{\pi {\sqrt {163}}}&=\left({\frac {\mathrm {e} ^{\frac {\pi i}{12}}\eta (\tau )}{\eta (3\tau )}}\right)^{12}-12{,}000\,000\,000\,000\,000\,21\dots \\\mathrm {e} ^{\pi {\sqrt {163}}}&=\left({\frac {\mathrm {e} ^{\frac {\pi i}{6}}\eta (\tau )}{\eta (5\tau )}}\right)^{6}-6{,}000\,000\,000\,000\,000\,034\dots \end{aligned}}}
où les expressions mises à la puissance sont exactement celles écrites plus haut.

Nombre de classes égal à 2

Les trois nombres 88, 148, 232, pour lesquels le corps quadratique Q [ − d ] {\displaystyle \mathbb {Q} \left[{\sqrt {-d}}\right]} a un nombre de classes égal à 2, ne sont pas des nombres de Heegner mais partagent certaines propriétés dont les approximations par des entiers. Par exemple

e π 88 + 8 744 ≈ 00 00 2 508 952 2 − 0,077 … e π 148 + 8 744 ≈ 00 199 148 648 2 − 0,000 97 … e π 232 + 8 744 ≈ 24 591 257 752 2 − 0,000 0078 … {\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {e} ^{\pi {\sqrt {88}}}+8\,744&\approx {\color {white}00\,00}2\,508\,952^{2}-0{,}077\dots \\\mathrm {e} ^{\pi {\sqrt {148}}}+8\,744&\approx {\color {white}00\,}199\,148\,648^{2}-0{,}000\,97\dots \\\mathrm {e} ^{\pi {\sqrt {232}}}+8\,744&\approx 24\,591\,257\,752^{2}-0{,}000\,0078\dots \\\end{aligned}}}
et
e π 22 − 24 ≈ 00 ( 6 + 4 2 ) 6 + 0,000 11 … e π 37 + 24 ≈ ( 12 + 2 37 ) 6 − 0,000 0014 … e π 58 − 24 ≈ ( 27 + 5 29 ) 6 − 0,000 000 0011 … . {\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {e} ^{\pi {\sqrt {22}}}-24&\approx {\color {white}00}\left(6+4{\sqrt {2}}\right)^{6}+0{,}000\,11\dots \\\mathrm {e} ^{\pi {\sqrt {37}}}+24&\approx \left(12+2{\sqrt {37}}\right)^{6}-0{,}000\,0014\dots \\\mathrm {e} ^{\pi {\sqrt {58}}}-24&\approx \left(27+5{\sqrt {29}}\right)^{6}-0{,}000\,000\,0011\dots .\\\end{aligned}}}

Premiers consécutifs

Soit p un nombre premier impair. Il semblerait[10] que la suite (à valeurs dans [ 2 , p − 1 ] {\displaystyle [2,p-1]} ) des k 2 mod p {\displaystyle k^{2}{\bmod {p}}} pour k = 2 , 3 , … , p − 1 2 {\displaystyle k=2,3,\dots ,{\frac {p-1}{2}}} (par symétrie, il suffit de considérer ceux-là car ( p − k ) 2 ≡ k 2 mod p {\displaystyle \left(p-k\right)^{2}\equiv k^{2}{\bmod {p}}} ) donne une succession de nombres composés suivie d'une succession de nombres premiers, si et seulement si p est un nombre de Heegner.

Références

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Heegner number » (voir la liste des auteurs).
  1. ↑ G. H. Hardy et E. M. Wright (trad. de l'anglais par François Sauvageot, préf. Catherine Goldstein), Introduction à la théorie des nombres [« An Introduction to the Theory of Numbers »] [détail de l’édition], chapitre 14 (« Corps quadratiques (1) »), section 14.7.
  2. ↑ (en) Harold Stark, « On the gap in the theorem of Heegner », J. Number Theory, vol. 1, no 1,‎ , p. 16-27 (DOI 10.1016/0022-314X(69)90023-7 Accès libre, lire en ligne).
  3. ↑ (de) Georg Rabinowitsch, « Eindeutigkeit der Zerlegung in Primzahlfaktoren in quadratischen Zahlkörpern », J. reine angew. Math., vol. 142,‎ , p. 153-164 (lire en ligne).
  4. ↑ F. Le Lionnais, Les nombres remarquables, Hermann, Paris, 1983, p. 88 et 144.
  5. ↑ (en) Eric W. Weisstein, « Ramanujan Constant », sur MathWorld.
  6. ↑ (en) John D Barrow, The Constants of Nature, London, Jonathan Cape, (ISBN 0-224-06135-6)
  7. ↑ « More on e^(pi*SQRT(163)) »
  8. ↑ « Pi Formulas »
  9. ↑ « Extending Ramanujan's Dedekind Eta Quotients »
  10. ↑ Question posée sur (en) « Simple Complex Quadratic Fields », sur mathpages.com, avec référence à (en) R. A. Mollin, « Quadratic polynomials producing consecutive, distinct primes and class groups of complex quadratic fields », Acta Arithmetica, vol. 74,‎ , p. 17-30 (DOI 10.4064/aa-74-1-17-30, lire en ligne).

Articles connexes

  • icône décorative Arithmétique et théorie des nombres