Moyenne de Lehmer

Construction géométrique des moyennes de Lehmer de deux nombres réels, selon un résultat de Farnsworth et Orr[1].

En mathématiques, la moyenne de Lehmer d'une famille ( x 1 , … , x n ) {\displaystyle (x_{1},\dots ,x_{n})} de nombres réels strictement positifs, portant le nom de Derrick Henry Lehmer, est une moyenne définie par [2]:

L p ( x 1 , … , x n ) = ∑ k = 1 n x k p ∑ k = 1 n x k p − 1 , {\displaystyle L_{p}(x_{1},\dots ,x_{n})={\frac {\sum _{k=1}^{n}x_{k}^{p}}{\sum _{k=1}^{n}x_{k}^{p-1}}},}

où p est un réel quelconque.

La moyenne de Lehmer pondérée par une famille ( m 1 , … , m n ) {\displaystyle (m_{1},\dots ,m_{n})} de poids positifs est définie par :

L p ( x 1 , ⋯ , x n ) = ∑ k = 1 n m k ⋅ x k p ∑ k = 1 n m k ⋅ x k p − 1 . {\displaystyle L_{p}(x_{1},\cdots ,x_{n})={\frac {\sum _{k=1}^{n}m_{k}\cdot x_{k}^{p}}{\sum _{k=1}^{n}m_{k}\cdot x_{k}^{p-1}}}.}

Elle n'est autre que la moyenne de ( x 1 , … , x n ) {\displaystyle (x_{1},\dots ,x_{n})} pondérée par la famille ( m 1 x 1 p − 1 , … , m n x n p − 1 ) {\displaystyle (m_{1}x_{1}^{p-1},\dots ,m_{n}x_{n}^{p-1})} .

La moyenne de Lehmer propose une alternative à la moyenne de Hölder habituelle pour relier le minimum et le maximum en passant par la moyenne harmonique et la moyenne arithmétique.

Propriétés

Comparaison entre la moyenne de Lehmer 1 + 2 p 1 + 2 p − 1 {\displaystyle {\frac {1+2^{p}}{1+2^{p-1}}}} de 1 et 2 (en rouge), avec leur moyenne de Hölder ( 1 + 2 p 2 ) 1 / p {\displaystyle \left({\frac {1+2^{p}}{2}}\right)^{1/p}} (en bleu).

La moyenne de Lehmer d'ordre p + 1 d'un n-uplet de nombres positifs est supérieure ou égale à la moyenne (de Hölder) d'ordre p si et seulement si p est supérieur ou égal à 1, et inversement [3]:

{ ∀ ( x 1 , ⋯ , x n ) ∈ R + ∗ n , L p + 1 ( x 1 , ⋯ , x n ) ⩾ M p ( x 1 , ⋯ , x n ) ⟺ p ⩾ 1 , ∀ ( x 1 , ⋯ , x n ) ∈ R + ∗ n , L p + 1 ( x 1 , ⋯ , x n ) ⩽ M p ( x 1 , ⋯ , x n ) ⟺ p ⩽ 1. {\displaystyle {\begin{cases}\forall (x_{1},\cdots ,x_{n})\in \mathbb {R} _{+}^{*n},L_{p+1}(x_{1},\cdots ,x_{n})\geqslant M_{p}(x_{1},\cdots ,x_{n})&\Longleftrightarrow p\geqslant 1,\\\forall (x_{1},\cdots ,x_{n})\in \mathbb {R} _{+}^{*n},L_{p+1}(x_{1},\cdots ,x_{n})\leqslant M_{p}(x_{1},\cdots ,x_{n})&\Longleftrightarrow p\leqslant 1.\end{cases}}}

La moyenne de Lehmer ne respecte pas l'inégalité de Minkowski pour tout ordre[3]:

{ ∀ ( x 1 , ⋯ , x n ) , ( y 1 , ⋯ , y n ) ∈ R + ∗ n , L p ( x 1 + y 1 , ⋯ , x n + y n ) ⩽ L p ( x 1 , ⋯ , x n ) + L p ( y 1 , ⋯ , y n ) ⟺ 1 ⩽ p ⩽ 2 , ∀ ( x 1 , ⋯ , x n ) , ( y 1 , ⋯ , y n ) ∈ R + ∗ n , L p ( x 1 + y 1 , ⋯ , x n + y n ) ⩾ L p ( x 1 , ⋯ , x n ) + L p ( y 1 , ⋯ , y n ) ⟺ 0 ⩽ p ⩽ 1. {\displaystyle {\begin{cases}\forall (x_{1},\cdots ,x_{n}),(y_{1},\cdots ,y_{n})\in \mathbb {R} _{+}^{*n},L_{p}(x_{1}+y_{1},\cdots ,x_{n}+y_{n})\leqslant L_{p}(x_{1},\cdots ,x_{n})+L_{p}(y_{1},\cdots ,y_{n})&\Longleftrightarrow 1\leqslant p\leqslant 2,\\\forall (x_{1},\cdots ,x_{n}),(y_{1},\cdots ,y_{n})\in \mathbb {R} _{+}^{*n},L_{p}(x_{1}+y_{1},\cdots ,x_{n}+y_{n})\geqslant L_{p}(x_{1},\cdots ,x_{n})+L_{p}(y_{1},\cdots ,y_{n})&\Longleftrightarrow 0\leqslant p\leqslant 1.\end{cases}}}

La dérivée de p ↦ L p ( x 1 , ⋯ , x n ) {\displaystyle p\mapsto L_{p}(x_{1},\cdots ,x_{n})}

∂ ∂ p L p ( x 1 , ⋯ , x n ) = ( ∑ j = 1 n ∑ k = j + 1 n [ x j − x k ] ⋅ [ ln ⁡ ( x j ) − ln ⁡ ( x k ) ] ⋅ [ x j ⋅ x k ] p − 1 ) ( ∑ k = 1 n x k p − 1 ) 2 , {\displaystyle {\frac {\partial }{\partial p}}L_{p}(x_{1},\cdots ,x_{n})={\frac {\left(\sum _{j=1}^{n}\sum _{k=j+1}^{n}\left[x_{j}-x_{k}\right]\cdot \left[\ln(x_{j})-\ln(x_{k})\right]\cdot \left[x_{j}\cdot x_{k}\right]^{p-1}\right)}{\left(\sum _{k=1}^{n}x_{k}^{p-1}\right)^{2}}},}

étant positive, cette fonction est croissante ; on a donc l’implication

p ⩽ q ⟹ L p ( x 1 , ⋯ , x n ) ⩽ L q ( x 1 , ⋯ , x n ) {\displaystyle p\leqslant q\Longrightarrow L_{p}({x_{1},\cdots ,x_{n}})\leqslant L_{q}(x_{1},\cdots ,x_{n})}

La dérivée de la moyenne pondérée de Lehmer est :

∂ L p ( x 1 , ⋯ , x n ) ∂ p = ( ∑ m x p − 1 ) ( ∑ m x p ln ⁡ x ) − ( ∑ m x p ) ( ∑ m x p − 1 ln ⁡ x ) ( ∑ m x p − 1 ) 2 {\displaystyle {\frac {\partial L_{p}(x_{1},\cdots ,x_{n})}{\partial p}}={\frac {(\sum mx^{p-1})(\sum mx^{p}\ln {x})-(\sum mx^{p})(\sum mx^{p-1}\ln {x})}{(\sum mx^{p-1})^{2}}}}

Cas particuliers

  • lim p → − ∞ L p ( x 1 , ⋯ , x n ) {\displaystyle \lim _{p\to -\infty }L_{p}(x_{1},\cdots ,x_{n})} est le minimum de ( x 1 , ⋯ , x n ) {\displaystyle (x_{1},\cdots ,x_{n})} .
  • L 0 ( x 1 , ⋯ , x n ) {\displaystyle L_{0}(x_{1},\cdots ,x_{n})} est la moyenne harmonique.
  • L 1 2 ( x 1 , x 2 ) {\displaystyle L_{\frac {1}{2}}(x_{1},x_{2})} est la moyenne géométrique de x 1 {\displaystyle x_{1}} et x 2 {\displaystyle x_{2}} .
  • L 1 ( x 1 , ⋯ , x n ) {\displaystyle L_{1}(x_{1},\cdots ,x_{n})} est la moyenne arithmétique.
  • L 2 ( x 1 , ⋯ , x n ) {\displaystyle L_{2}(x_{1},\cdots ,x_{n})} est la moyenne contre-harmonique.
  • lim p → ∞ L p ( x 1 , ⋯ , x n ) {\displaystyle \lim _{p\to \infty }L_{p}(x_{1},\cdots ,x_{n})} est le maximum de ( x 1 , ⋯ , x n ) {\displaystyle (x_{1},\cdots ,x_{n})} .

Voir aussi

  • Moyenne
  • Moyenne d'ordre p
  • Moyenne de Gini

Références

  1. ↑ (en) David Farnsworth et Richard Orr, « Gini Means », The American Mathematical Monthly, vol. 93, no 8,‎ , p. 603-607 (DOI 10.1080/00029890.1986.11971898, lire en ligne)
  2. ↑ P. S. Bullen. Handbook of means and their inequalities. Springer, 1987.
  3. ↑ a et b (en) E. F. Beckenbach, « A Class of Mean Value Functions », The American Mathematical Monthly, vol. 57, no 1,‎ , p. 1–6 (DOI 10.2307/2305163)

Liens externes

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