Loxodromie

Comparaison entre les trajectoires loxodromique (bleue) et orthodromique (rouge) entre Paris et New York, sur une carte en projection de Mercator
Comparaison entre les trajectoires loxodromique (jaune) et orthodromique (rouge) entre Paris et New York, sur la sphère terrestre.

Une loxodromie (du grec lox(o)- et -dromie course (δρόμος) oblique (λοξός), en anglais rhumb line), est une courbe qui coupe les méridiens d'une sphère sous un angle constant. C'est la trajectoire suivie par un navire qui suit un cap constant.

Une route loxodromique est représentée sur une carte marine ou aéronautique en projection de Mercator par une ligne droite, mais elle ne représente pas la distance la plus courte entre deux points. En effet, la route la plus courte, appelée route orthodromique ou orthodromie, est un arc de grand cercle de la sphère[1].

La loxodromie est une trajectoire à route vraie constante. Elle doit son nom au géomètre portugais Pedro Nunes, le premier à la distinguer d'un cercle (ca. 1537)[2].

Loxodromie : l'angle β = R v {\displaystyle \beta =R_{v}} est la route vraie.

Navigation loxodromique

Le problème posé est celui de la détermination de la route et de la distance loxodromique entre deux points. Il s'agit donc du problème inverse de la navigation à l'estime.

Par la suite, on note

  • R v {\displaystyle R_{v}} la route vraie (terme utilisé en aéronautique, appelée route fond, R f {\displaystyle R_{f}\,} , dans le domaine maritime) ;
  • M {\displaystyle M\,} la distance parcourue à la route R v {\displaystyle R_{v}}  ;
  • φ A , G A {\displaystyle \varphi _{A},G_{A}\,} et φ B , G B {\displaystyle \varphi _{B},G_{B}\,} les coordonnées géographiques (latitude, longitude) des points A et B ;
  • φ m = φ A + φ B 2 {\displaystyle \varphi _{m}={\frac {\varphi _{A}+\varphi _{B}}{2}}\,} la latitude moyenne ;

Les unités, si nécessaires, seront indiquées en exposant entre crochets : [ n q ] {\displaystyle ^{[nq]}} pour nautique, [ r a d ] {\displaystyle ^{[rad]}} pour le radian, [ , ] {\displaystyle ^{[,]}} pour la minute d'arc.

La valeur de la distance en fonction de la route vraie s'exprime par l'égalité

M [ n q ] = φ B [ , ] − φ A [ , ] cos ⁡ R v {\displaystyle M^{[nq]}={\frac {\varphi _{B}\,^{[,]}-\varphi _{A}\,^{[,]}}{\cos R_{v}}}\,}

Pour l'évaluation de la route vraie, on peut utiliser une valeur approchée ou une valeur exacte.

  • Si les deux points A et B sont peu éloignés, on peut se contenter de la formule approchée utilisant la latitude moyenne
tan ⁡ R v = G B − G A φ B − φ A cos ⁡ φ m {\displaystyle \tan R_{v}={\frac {G_{B}-G_{A}}{\varphi _{B}-\varphi _{A}}}\cos \varphi _{m}\,}
cette formule est issue de la confusion entre les distances sur la sphère et les distances sur la carte. Elle s'applique pour des points à distance réduite (inférieure à 300 milles marins) et à des latitudes éloignées des pôles (latitudes inférieures à 60°)[3].
  • Formule exacte (latitudes croissantes de la projection de Mercator) :
tan ⁡ R v = G B − G A λ B − λ A {\displaystyle \tan R_{v}={\frac {G_{B}-G_{A}}{\lambda _{B}-\lambda _{A}}}\,}
λ {\displaystyle \lambda \,} est appelée la latitude croissante[4] et vaut, en radians :
λ = ln ⁡ tan ⁡ ( π 4 + φ [ r a d ] 2 ) {\displaystyle \lambda =\ln \tan \left({\frac {\pi }{4}}+{\frac {\varphi ^{[rad]}}{2}}\right)\,} qui est la fonction de Gudermann inverse.

Les formules ne sont pas adaptées pour les R v {\displaystyle R_{v}} proches de 90° et 270° puisqu'elles conduiraient à une division par un nombre proche de zéro. Dans ces cas, il est prévu dans les calculs nautiques d'utiliser le sinus pour calculer la distance. Dès que la route fond par quart R f q {\displaystyle Rf_{q}} est supérieure à 89°, on utilise la formule approchée suivante[5] :

M [ n q ] = | G B [ , ] − G A [ , ] | cos ⁡ φ m sin ⁡ R f q {\displaystyle M^{[nq]}={\frac {\left|G_{B}\,^{[,]}-G_{A}\,^{[,]}\right|\cos \varphi _{m}}{\sin Rf_{q}}}}
  • Loxodromie pôle à pôle
  • Loxodromie vue de l'équateur
    Loxodromie vue de l'équateur
  • Loxodromie vue du pôle nord
    Loxodromie vue du pôle nord

Étude mathématique

Sur le globe terrestre, les loxodromies correspondent (lorsqu'elles ne sont pas « dégénérées », c'est-à-dire lorsque l'angle initial donné n'est pas nul) à des spirales s'enroulant autour du pôle (le pôle Nord si l'angle initial est dans ] 0 , π [ {\displaystyle ]0,\pi [} et le déplacement se fait dans le sens des latitudes croissantes). Au voisinage du pôle, ces spirales sont approximativement planes, de tangente formant un angle fixe avec le rayon vecteur, ce qui est une propriété caractéristique d'une spirale logarithmique.

Plus précisément, on veut déterminer une équation de la loxodromie et calculer la longueur L parcourue depuis l'équateur jusqu'au pôle en fonction de la route vraie R v ∈ ] 0 , π / 2 [ {\displaystyle R_{v}\in \,]0,\pi /2[} (c’est-à-dire l’angle entre la direction suivie et le nord géographique) ; la longitude étant notée G {\displaystyle G} et la latitude φ {\displaystyle \varphi } , il s'agit donc de déterminer la fonction G ↦ φ ( G ) {\displaystyle G\mapsto \varphi (G)} . Le calcul donne finalement φ ( G ) = 2 arctan ⁡ ( exp ⁡ ( G tan ⁡ ( R v ) ) ) − π / 2 {\displaystyle \varphi (G)=2\arctan(\exp({G \over \tan(R_{v})}))-\pi /2} et L = π 2 cos ⁡ ( R v ) {\displaystyle L={\pi \over 2\,\cos(R_{v})}} [6].

Calcul détaillé

La loxodromie constitue un arc sur la sphère que l'on suppose défini par une fonction de classe C 1 {\displaystyle C^{1}}  : G ↦ φ ( G ) {\displaystyle G\mapsto \varphi (G)} , et orienté dans le sens des longitudes croissantes. Soit la fonction f : G ↦ M ( G , φ ( G ) ) {\displaystyle f:G\mapsto M(G,\varphi (G))} qui, à la longitude G {\displaystyle G} , associe le point courant de la loxodromie de longitude G {\displaystyle G} et de latitude φ ( G ) {\displaystyle \varphi (G)} .

Un vecteur tangent à la loxodromie est alors f ′ ( G ) = ∂ M → ∂ G ( G , φ ( G ) ) + φ ′ ( G ) ⋅ ∂ M → ∂ φ ( G , φ ( G ) ) {\displaystyle f'(G)={\partial {\vec {M}} \over \partial G}(G,\varphi (G))+\varphi '(G)\cdot {\partial {\vec {M}} \over \partial \varphi }(G,\varphi (G))} . Ce vecteur, qui dirige la tangente à l'arc, forme donc, par hypothèse, un angle R v {\displaystyle R_{v}} avec tout vecteur (non nul) dirigeant le méridien au point considéré. Un vecteur dirigeant le méridien en M ( G , φ ( G ) ) {\displaystyle M(G,\varphi (G))} est ∂ M → ∂ φ ( G , φ ( G ) ) {\displaystyle {\partial {\vec {M}} \over \partial \varphi }(G,\varphi (G))} , tandis qu'un vecteur dirigeant le parallèle est ∂ M → ∂ G ( G , φ ( G ) ) {\displaystyle {\partial {\vec {M}} \over \partial G}(G,\varphi (G))} .

Dans la suite, pour alléger l'écriture, on ne précisera plus le point ( G , φ ( G ) ) {\displaystyle (G,\varphi (G))} , auquel sont prises les fonctions et leurs dérivées partielles, et on notera φ {\displaystyle \varphi } au lieu de φ ( G ) {\displaystyle \varphi (G)} , et φ ′ {\displaystyle \varphi '} la dérivée de φ ( G ) {\displaystyle \varphi (G)} par rapport à G {\displaystyle G} .

En effectuant le produit scalaire d'un vecteur directeur de la tangente à la loxodromie et d'un vecteur directeur du méridien, on obtient le produit des normes de ces vecteurs par le cosinus de l'angle qu'ils forment. Cet angle est précisément le cap vrai R v {\displaystyle R_{v}} lorsque 0 < R v < π {\displaystyle 0<R_{v}<\pi }  :

( ∂ M → ∂ φ | ∂ M → ∂ G + φ ′ ∂ M → ∂ φ ) = ‖ ∂ M → ∂ φ ‖ ‖ ∂ M → ∂ G + φ ′ ∂ M → ∂ φ ‖ cos ⁡ ( R v ) {\displaystyle \left({\partial {\vec {M}} \over \partial \varphi }\;{\Bigg |}\;{\partial {\vec {M}} \over \partial G}+\varphi '{\partial {\vec {M}} \over \partial \varphi }\right)=\left\|{\partial {\vec {M}} \over \partial \varphi }\right\|\,\left\|{\partial {\vec {M}} \over \partial G}+\varphi '{\partial {\vec {M}} \over \partial \varphi }\right\|\cos(R_{v})} , en notant ( u → | v → ) {\displaystyle ({\vec {u}}\;|\;{\vec {v}})} le produit scalaire u → {\displaystyle {\vec {u}}} par v → {\displaystyle {\vec {v}}} .

Comme les parallèles et les méridiens sont perpendiculaires, les vecteurs ∂ M → ∂ φ {\displaystyle {\partial {\vec {M}} \over \partial \varphi }} et ∂ M → ∂ G {\displaystyle {\partial {\vec {M}} \over \partial G}} sont orthogonaux, et l'expression précédente se simplifie en :

φ ′ ‖ ∂ M → ∂ φ ‖ 2 = ‖ ∂ M → ∂ φ ‖ ‖ ∂ M → ∂ G + φ ′ ∂ M → ∂ φ ‖ cos ⁡ ( R v ) {\displaystyle \varphi '\left\|{\partial {\vec {M}} \over \partial \varphi }\right\|^{2}=\left\|{\partial {\vec {M}} \over \partial \varphi }\right\|\,\left\|{\partial {\vec {M}} \over \partial G}+\varphi '{\partial {\vec {M}} \over \partial \varphi }\right\|\cos(R_{v})}

puis en :

φ ′ ‖ ∂ M → ∂ φ ‖ = ‖ ∂ M → ∂ G + φ ′ ∂ M → ∂ φ ‖ cos ⁡ ( R v ) {\displaystyle \varphi '\left\|{\partial {\vec {M}} \over \partial \varphi }\right\|=\left\|{\partial {\vec {M}} \over \partial G}+\varphi '{\partial {\vec {M}} \over \partial \varphi }\right\|\cos(R_{v})}

En élevant au carré et en utilisant le théorème de Pythagore, on obtient :

φ ′ 2 ‖ ∂ M → ∂ φ ‖ 2 = ( ‖ ∂ M → ∂ G ‖ 2 + φ ′ 2 ‖ ∂ M → ∂ φ ‖ 2 ) cos 2 ⁡ ( R v ) {\displaystyle \varphi '^{2}\left\|{\partial {\vec {M}} \over \partial \varphi }\right\|^{2}=\left(\left\|{\partial {\vec {M}} \over \partial G}\right\|^{2}+\varphi '^{2}\left\|{\partial {\vec {M}} \over \partial \varphi }\right\|^{2}\right)\cos ^{2}(R_{v})}

D'où, avec 1 − cos 2 ⁡ ( R v ) = sin 2 ⁡ ( R v ) {\displaystyle 1-\cos ^{2}(R_{v})=\sin ^{2}(R_{v})}

sin 2 ⁡ ( R v ) φ ′ 2 ‖ ∂ M → ∂ φ ‖ 2 = ‖ ∂ M → ∂ G ‖ 2 cos 2 ⁡ ( R v ) ( 1 ) {\displaystyle \sin ^{2}(R_{v})\varphi '^{2}\left\|{\partial {\vec {M}} \over \partial \varphi }\right\|^{2}=\left\|{\partial {\vec {M}} \over \partial G}\right\|^{2}\cos ^{2}(R_{v})\qquad \mathbf {(1)} } .

On calcule les deux normes intervenant dans cette équation :

On sait, d'après le paramétrage sphérique rapporté aux coordonnées cartésiennes dans la base ( i → , j → , k → ) {\displaystyle ({\vec {i}},{\vec {j}},{\vec {k}})} , k → {\displaystyle {\vec {k}}} étant dirigé selon l'axe terrestre, que O M → ( G , φ ) = sin ⁡ ( φ ) k → + cos ⁡ ( φ ) u → G {\displaystyle {\overrightarrow {OM}}(G,\varphi )=\sin(\varphi )\;{\vec {k}}+\cos(\varphi )\;{\vec {u}}_{G}} , où u → G {\displaystyle {\vec {u}}_{G}} est le vecteur unitaire radial du plan équatorial défini par : u → G = cos ⁡ ( G ) i → + sin ⁡ ( G ) j → {\displaystyle {\vec {u}}_{G}=\cos(G)\;{\vec {i}}+\sin(G)\;{\vec {j}}} . On définit v → G {\displaystyle {\vec {v}}_{G}} comme le vecteur dérivé par rapport à G {\displaystyle G} de u → G {\displaystyle {\vec {u}}_{G}}  : v → G = d u → G d G = − sin ⁡ ( G ) i → + cos ⁡ ( G ) j → {\displaystyle {\vec {v}}_{G}={d{\vec {u}}_{G} \over dG}=-\sin(G)\;{\vec {i}}+\cos(G)\;{\vec {j}}} . Alors ∂ M → ∂ G = cos ⁡ ( φ ) v → G {\displaystyle {\partial {\vec {M}} \over \partial G}=\cos(\varphi )\;{\vec {v}}_{G}} et ∂ M → ∂ φ = cos ⁡ ( φ ) k → − sin ⁡ ( φ ) u → G {\displaystyle {\partial {\vec {M}} \over \partial \varphi }=\cos(\varphi )\;{\vec {k}}-\sin(\varphi ){\vec {u}}_{G}} . Ainsi, ‖ ∂ M → ∂ G ‖ = cos ⁡ ( φ ) {\displaystyle \left\|{\partial {\vec {M}} \over \partial G}\right\|=\cos(\varphi )} et ‖ ∂ M → ∂ φ ‖ = 1 {\displaystyle \left\|{\partial {\vec {M}} \over \partial \varphi }\right\|=1} .

L'équation ( 1 ) {\displaystyle \mathbf {(1)} } se réduit à :

sin 2 ⁡ ( R v ) φ ′ 2 = cos 2 ⁡ ( φ ) cos 2 ⁡ ( R v ) {\displaystyle \sin ^{2}(R_{v})\varphi '^{2}=\cos ^{2}(\varphi )\cos ^{2}(R_{v})}

Si on suppose qu'on part de l'équateur ( φ = 0 {\displaystyle \varphi =0} ) à la longitude G = 0 {\displaystyle G=0} et qu'on se dirige vers le Nord-Est, alors R v ∈ ] 0 , π / 2 [ {\displaystyle R_{v}\in \,]0,\pi /2[} , et φ {\displaystyle \varphi } est une fonction croissante de G {\displaystyle G} donc φ ′ > 0 {\displaystyle \varphi '>0} (dans les autres cas, on déduit l'arc par une symétrie centrale et/ou une rotation convenable(s), donc on ne perd pas de généralité), par suite :

sin ⁡ ( R v ) φ ′ = cos ⁡ ( φ ) cos ⁡ ( R v ) {\displaystyle \sin(R_{v})\varphi '=\cos(\varphi )\cos(R_{v})}
et 1 cos ⁡ ( φ ) d φ d G = 1 tan ⁡ ( R v ) {\displaystyle {1 \over \cos(\varphi )}{d\varphi \over dG}={1 \over \tan(R_{v})}} , équation différentielle non linéaire à variables séparables en φ ( G ) {\displaystyle \varphi (G)}

En intégrant entre 0 et G {\displaystyle G}  :

∫ 0 φ ( G ) d φ cos ⁡ ( φ ) = 1 tan ⁡ ( R v ) ∫ 0 G d G {\displaystyle \int _{0}^{\varphi (G)}{d\varphi \over \cos(\varphi )}={1 \over \tan(R_{v})}\int _{0}^{G}dG} ,
soit (cf. Primitives de fonctions trigonométriques)
ln ⁡ ( tan ⁡ ( π 4 + φ ( G ) 2 ) ) = G tan ⁡ ( R v ) {\displaystyle \ln \left(\tan \left({\frac {\pi }{4}}+{\frac {\varphi (G)}{2}}\right)\right)={G \over \tan(R_{v})}}

La longueur L parcourue vaut alors, par définition :

L = ∫ 0 + ∞ ‖ f ′ ( G ) ‖ d G {\displaystyle L=\int _{0}^{+\infty }\|f'(G)\|\,dG}
où f ′ ( G ) = ∂ M → ∂ G ( G , φ ( G ) ) + φ ′ ( G ) ∂ M → ∂ φ ( G , φ ( G ) ) {\displaystyle f'(G)={\partial {\vec {M}} \over \partial G}(G,\varphi (G))+\varphi '(G){\partial {\vec {M}} \over \partial \varphi }(G,\varphi (G))} et ‖ f ′ ( G ) ‖ 2 = cos 2 ⁡ ( φ ) + φ ′ 2 = cos 2 ⁡ ( φ ) + cos 2 ⁡ ( φ ) tan 2 ⁡ ( R v ) = cos 2 ⁡ ( φ ) sin 2 ⁡ ( R v ) {\displaystyle \|f'(G)\|^{2}=\cos ^{2}(\varphi )+\varphi '^{2}=\cos ^{2}(\varphi )+{\cos ^{2}(\varphi ) \over \tan ^{2}(R_{v})}={\cos ^{2}(\varphi ) \over \sin ^{2}(R_{v})}} et, pour les mêmes raisons de signe, ‖ f ′ ( G ) ‖ = cos ⁡ ( φ ) sin ⁡ ( R v ) {\displaystyle \|f'(G)\|={\cos(\varphi ) \over \sin(R_{v})}} .
L = 1 sin ⁡ ( R v ) ∫ 0 + ∞ cos ⁡ ( φ ( G ) ) d G {\displaystyle L={1 \over \sin(R_{v})}\int _{0}^{+\infty }\cos(\varphi (G))\,dG}

En changeant de variable, avec d G d φ = tan ⁡ ( R v ) cos ⁡ ( φ ) {\displaystyle {dG \over d\varphi }={\tan(R_{v}) \over \cos(\varphi )}} avec φ {\displaystyle \varphi } la latitude variant de 0 à π 2 {\displaystyle \pi \over 2} quand G {\displaystyle G} varie de 0 à + ∞ {\displaystyle +\infty }  :

On a L = tan ⁡ ( R v ) sin ⁡ ( R v ) ∫ 0 π 2 d φ = 1 cos ⁡ ( R v ) ∫ 0 π 2 d φ {\displaystyle L={\tan(R_{v}) \over \sin(R_{v})}\int _{0}^{\pi \over 2}\,d\varphi ={1 \over \cos(R_{v})}\int _{0}^{\pi \over 2}\,d\varphi }
L = π 2 cos ⁡ ( R v ) {\displaystyle L={\pi \over 2\,\cos(R_{v})}}

Il est facile de vérifier le résultat en prenant R v {\displaystyle R_{v}} nul. On voit que l'arc parcouru est le méridien et sa longueur est égale au quart de la circonférence.

Le même calcul mené entre deux points A et B situés sur la loxodromie donnera comme longueur :

M = 1 cos ⁡ ( R v ) ∫ φ A φ B d φ = φ B − φ A cos ⁡ ( R v ) {\displaystyle M={1 \over \cos(R_{v})}\int _{\varphi _{A}}^{\varphi _{B}}\,d\varphi ={\frac {\varphi _{B}-\varphi _{A}}{\cos(R_{v})}}}

Notes et références

  1. ↑ Un « grand cercle » d'une sphère est l'intersection de la sphère avec un plan qui passe par le centre de la sphère, comme l'Équateur et tous les méridiens.
  2. ↑ Stevin et Harriot l'ont étudiée (c.1580) : c'est un des premiers cas d'« intégration difficile » connus
  3. ↑ LOxodromie, p.5-6, sur le site de l'école nationale de la marine marchande de Marseille
  4. ↑ Robert Rolland « QUELQUES PROBLÈMES MATHÉMATIQUES LIÉS À LA NAVIGATION (VERSION 7) » (page 26)
  5. ↑ LOxodromie, p.8;10, sur le site de l'école nationale de la marine marchande de Marseille
  6. ↑ Robert Rolland « QUELQUES PROBLÈMES MATHÉMATIQUES LIÉS À LA NAVIGATION (VERSION 7) » (page 19)

Voir aussi

Articles connexes

Liens externes

  • (fr) « Quelques Problèmes Mathématiques liés à la Navigation »
  • (fr) « Logiciel de calcul de distances (loxodromiques et orthodromiques) et de caps »

Bibliographie

  • Raymond d'Hollander, Loxodromie et projection de Mercator, Institut océanographique, , 239 p. (ISBN 978-2-903581-31-2)


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