Intégrale de Frullani

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En analyse mathématique, les intégrales de Cauchy- Frullani, portant les noms d'Augustin Cauchy et de Giuliano Frullani sont des intégrales impropres de la forme

∫ 0 ∞ f ( a x ) − f ( b x ) x d x ( a , b > 0 ) {\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {f(ax)-f(bx)}{x}}\,\mathrm {d} x\quad (a,b>0)} .

Si f est localement intégrable sur l'intervalle ouvert ] 0 , + ∞ [ {\displaystyle \left]0,+\infty \right[} et admet une limite finie aux deux bornes, alors l'intégrale converge et

∫ 0 ∞ f ( a x ) − f ( b x ) x d x = ( f ( ∞ ) − f ( 0 ) ) ln ⁡ a b {\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {f(ax)-f(bx)}{x}}\,\mathrm {d} x=(f(\infty )-f(0))\ln {\frac {a}{b}}} .
Démonstration

On a, par changement de variable, I = ∫ ε A f ( a x ) − f ( b x ) x d x = ∫ a ε a A f ( t ) t d t − ∫ b ε b A f ( t ) t d t = ∫ a ε b ε f ( t ) t d t − ∫ a A b A f ( t ) t d t {\displaystyle I=\int _{\varepsilon }^{A}{\frac {f(ax)-f(bx)}{x}}\,\mathrm {d} x=\int _{a\varepsilon }^{aA}{\frac {f(t)}{t}}\,\mathrm {d} t-\int _{b\varepsilon }^{bA}{\frac {f(t)}{t}}\,\mathrm {d} t=\int _{a\varepsilon }^{b\varepsilon }{\frac {f(t)}{t}}\,\mathrm {d} t-\int _{aA}^{bA}{\frac {f(t)}{t}}\,\mathrm {d} t}


Donc I = ∫ a ε b ε f ( t ) − f ( 0 ) t d t + f ( 0 ) ln ⁡ b a − ∫ a A b A f ( t ) − f ( ∞ ) t d t − f ( ∞ ) ln ⁡ b a {\displaystyle I=\int _{a\varepsilon }^{b\varepsilon }{\frac {f(t)-f(0)}{t}}\,\mathrm {d} t+f(0)\ln {\frac {b}{a}}-\int _{aA}^{bA}{\frac {f(t)-f(\infty )}{t}}\,\mathrm {d} t-f(\infty )\ln {\frac {b}{a}}}

Donc ∫ ε A f ( a x ) − f ( b x ) x d x − ( f ( ∞ ) − f ( 0 ) ) ln ⁡ a b = ∫ a ε b ε f ( t ) − f ( 0 ) t d t − ∫ a A b A f ( t ) − f ( ∞ ) t d t {\displaystyle \int _{\varepsilon }^{A}{\frac {f(ax)-f(bx)}{x}}\,\mathrm {d} x-(f(\infty )-f(0))\ln {\frac {a}{b}}=\int _{a\varepsilon }^{b\varepsilon }{\frac {f(t)-f(0)}{t}}\,\mathrm {d} t-\int _{aA}^{bA}{\frac {f(t)-f(\infty )}{t}}\,\mathrm {d} t} , d'où le résultat en faisant tendre ε {\displaystyle \varepsilon } vers 0 et A {\displaystyle A} vers l'infini.

Historique

La formule ci-dessus se trouve sans démonstration dans une lettre de Frullani datée de 1821, et a été démontrée par Cauchy en 1823[1].

Application

En prenant f ( x ) = e − x {\displaystyle f(x)=\mathrm {e} ^{-x}} , on obtient ∫ 0 ∞ e − a x − e − b x x d x = ln ⁡ b a {\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {\mathrm {e} ^{-ax}-\mathrm {e} ^{-bx}}{x}}\mathrm {d} x=\ln {\frac {b}{a}}} , dont on déduit ∫ 0 1 t a − 1 − t b − 1 ln ⁡ t d t = ln ⁡ a b {\displaystyle \int _{0}^{1}{\frac {t^{a-1}-t^{b-1}}{\ln t}}\mathrm {d} t=\ln {\frac {a}{b}}} .

Références

  • (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Frullani integral » (voir la liste des auteurs).
  • (en) Ralph Palmer Agnew, « Mean values and Frullani integrals », Proc. A.M.S., vol. 2,‎ , p. 237-241 (lire en ligne)
  • (en) Juan Arias-de-Reyna, « On the Theorem of Frullani », Proc. A.M.S., vol. 109, no 1,‎ , p. 165-175 (lire en ligne)
  • (en) Bruce C. Berndt, « Ramanujan's Quarterly Reports », Bulletin of the London Mathematical Society, vol. 16, no 5,‎ , p. 295-357 (lire en ligne) : voir p. 313-318
  • (en) G. Boros et V. Moll, Irresistible Integrals, (lire en ligne), p. 98
  • Augustin-Louis Cauchy, « Mémoire sur l'intégration des équations linéaires aux différentielles partielles et à coefficients constants », dans Journal de l'École polytechnique, (lire en ligne), p. 512-592 : p. 576 (Œuvres complètes, série 2, tome 1, p. 275-357 : p. 339)
  • Augustin-Louis Cauchy, « Sur la transformation des fonctions d'une seule variable en intégrales doubles », dans Exercices de mathématiques, (lire en ligne), p. 112-124 : p. 122 (Œuvres complètes, série 2, tome 7, p. 146-159 : p. 157)
  • (en) A. M. Ostrowski, « On some generalizations of th Cauchy-Frullani integral », PNAS, vol. 35,‎ , p. 612-616 (lire en ligne)

Voir aussi

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