Fonction somme des puissances k-ièmes des diviseurs

En mathématiques, la fonction "somme des puissances k-ièmes des diviseurs", notée $\sigma _{k}$ , est la fonction multiplicative qui à tout entier n > 0 associe la somme des puissances $k$ -ièmes des diviseurs positifs de n, où $k$ est un nombre complexe quelconque ^[1]:

\sigma _{k}(n)=\sum _{d|n}d^{k}.

Propriétés

La fonction $\sigma _{k}$ est multiplicative, c'est-à-dire que, pour tous entiers m et n premiers entre eux, $\sigma _{k}(mn)=\sigma _{k}(m)\sigma _{k}(n)$ . En effet, $\sigma _{k}$ est le produit de convolution de deux fonctions multiplicatives : la fonction puissance $k$ -ième et la fonction constante 1.
Si p est un nombre premier alors $\sigma _{k}(p^{q})$ est une somme partielle de série géométrique : $\forall q\in \mathbb {N} ,\quad \sigma _{k}(p^{q})=1+p^{k}+p^{2k}+\ldots +p^{qk}={\begin{cases}{\frac {p^{(q+1)k}-1}{p^{k}-1}}&{\text{si }}p^{k}\neq 1,\\q+1&{\text{si }}p^{k}=1.\end{cases}}$ (La condition p^k = 1 équivaut à k ∈ i(2π/logp)ℤ, ce qui est vrai pour tous les p si k est nul et pour au plus un sinon.) En particulier, $\sigma _{k}$ n'est pas complètement multiplicative.
L'utilisation des deux propriétés précédentes permet de déterminer σ_k(n) connaissant la décomposition en facteurs premiers de n : ${\rm {si}}\quad n=\prod _{i=1}^{r}p_{i}^{q_{i}}\quad {\rm {alors}}\quad \sigma _{k}(n)=\prod _{i=1}^{r}\sum _{j=0}^{q_{i}}p_{i}^{jk}.$
On peut aussi calculer σ_k(p^q) par les polynômes de Tchebychev : soient U_q le polynôme de Tchebychev de seconde espèce de degré q, et X_q sa renormalisation, définie par X_q(T) = U_q(T/2). Alors^[2] : ${\frac {\sigma _{k}(p^{q})}{p^{kq/2}}}=X_{q}\left({\frac {\sigma _{k}(p)}{p^{k/2}}}\right).$

Démonstration^{[réf. nécessaire]}

Notons a= p^k/2. Il s'agit de prouver que

$1+a^{2}+a^{4}+...+a^{2k}=a^{q}X_{q}(a+a^{-1})$

ou, plus généralement, qu'on a l'égalité de polynômes :

$1+T^{2}+T^{4}+...+T^{2q}=T^{q}X_{k}(T+T^{-1}).$ Il suffit pour cela de la vérifier sur une infinité de valeurs. Or pour tout réel θ non multiple de π, en posant t = e^iθ, on a

$X_{q}(t+t^{-1})=X_{q}(2\cos \theta )=U_{q}(\cos \theta )={\frac {\sin((q+1)\theta )}{\sin \theta }}={\frac {t^{q+1}-t^{-(q+1)}}{t-t^{-1}}}$

donc

$t^{q}X_{q}(t+t^{-1})={\frac {t^{q+1}}{t}}{\frac {t^{q+1}-t^{-(q+1)}}{t-t^{-1}}}={\frac {t^{2(q+1)}-1}{t^{2}-1}}=1+t^{2}+t^{4}+...+t^{2q},$

ce qui conclut.

Par multiplicativité, on déduit du point précédent^[2] :^[1] $\sigma _{k}(m)\sigma _{k}(n)=\sum _{d\mid (m,n)}d^{k}\sigma _{k}\left({\frac {mn}{d^{2}}}\right)$ (où (m, n) désigne le pgcd de m et n) puis, par inversion de Möbius : $\sigma _{k}(mn)=\sum _{d\mid (m,n)}\mu (d)d^{k}\sigma _{k}\left({\frac {m}{d}}\right)\sigma _{k}\left({\frac {n}{d}}\right)$ .
On a l'identité permettant d'évaluer l'ordre moyen de $\sigma _{k}$ : $\sum _{i=1}^{n}\sigma _{k}(i)=\sum _{d=1}^{n}\sum _{m=1}^{\left\lfloor {\frac {n}{d}}\right\rfloor }m^{k}\,{\overset {\text{aussi}}{=}}\,\sum _{m=1}^{n}\left\lfloor {\frac {n}{m}}\right\rfloor m^{k}$ ^[1]

Démonstration

$\sum _{i=1}^{n}\sigma _{k}(i)=\sum _{i=1}^{n}\sum _{m|i}m^{k}=\sum _{\begin{matrix}m,d\\1\leqslant md\leqslant n\end{matrix}}m^{k}=\sum _{d=1}^{n}\sum _{m=1}^{\left\lfloor {\frac {n}{d}}\right\rfloor }m^{k}\,{\overset {\text{aussi}}{=}}\,\sum _{m=1}^{n}\left\lfloor {\frac {n}{m}}\right\rfloor m^{k}$

La série de Dirichlet associée à $\sigma _{k}$ s'exprime à l'aide de la fonction ζ de Riemann : $\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\sigma _{k}(n)}{n^{s}}}=\zeta (s)\zeta (s-k)$ et l'on a la relation : $\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\sigma _{k}(n)\sigma _{l}(n)}{n^{s}}}={\frac {\zeta (s)\zeta (s-k)\zeta (s-l)\zeta (s-k-l)}{\zeta (2s-k-l)}}.$

Cas où k est un entier naturel

Fonction nombre de diviseurs

Article détaillé : Fonction nombre de diviseurs.

La fonction^[3] $\sigma _{0}$ (« nombre de diviseurs »), également notée^[4] d, est aussi appelée fonction tau^[5]^,^[1] (de l'allemand Teiler : diviseur) et notée τ. Elle compte le nombre de diviseurs positifs de n :

d(n)=\tau (n)=\sum _{d|n}1=\operatorname {Card} \{1\leqslant d\leqslant n:d|n\}=\prod _{i=1}^{r}(k_{i}+1).

La suite $(\sigma _{0}(n))$ est répertoriée comme suite A000005 de l'OEIS.

Fonction somme des diviseurs

Article détaillé : Somme des diviseurs.

La fonction sigma $\sigma _{1}$ est parfois notée σ. On a

\sigma (n)=\sum _{d|n}d=\prod _{i=1}^{r}\sum _{j=0}^{q_{i}}p_{i}^{j}=\prod _{i=1}^{r}{\frac {p_{i}^{q_{i}+1}-1}{p_{i}-1}}.

Par exemple, si n = pq pour deux nombres premiers distincts p et q, alors

$\sigma (n)=(p+1)(q+1)=n+1+(p+q){\text{ et }}\varphi (n)=(p-1)(q-1)=n+1-(p+q)$ où φ est l'indicatrice d'Euler.

La somme des diviseurs stricts de n est $s(n)=\sum _{d|n,d\neq n}d=\sigma (n)-n.$ L'entier n est dit parfait si s(n) = n, déficient si s(n) < n et abondant si s(n) > n.

La suite $(\sigma _{1}(n))$ est répertoriée comme suite A000203 de l'OEIS.

Autres valeurs de k

La suite $(\sigma _{2}(n))$ est répertoriée comme suite A001157 de l'OEIS.

La suite $(\sigma _{3}(n))$ est répertoriée comme suite A001158 de l'OEIS.

Notes et références

↑ ^{a b c et d} Gérald Tenenbaum, Introduction à la théorie analytique et probabiliste des nombres, Belin, page 26.
↑ ^{a et b} Emmanuel Royer. Un cours « Africain » sur les formes modulaires.
↑ « d(n) (also called tau(n) or sigma_0(n)), the number of divisors of n », suite A000005 de l'OEIS.
↑ G. H. Hardy et E. M. Wright, Introduction à la théorie des nombres ; William John Ellison et Michel Mendès France, Les Nombres premiers, 1975 [détail de l’édition].
↑ Edmund Landau Handbuch der Lehre von der Verteilung der Primzahlen, Teubner, Berlin 1909.

Voir aussi

Bibliographie

J. Liouville, « Généralisation d'une formule concernant la somme des puissances des diviseurs d'un nombre », J. Math. Pures Appl., 2^e série, vol. 3,‎ 1858, p. 63-68 (lire en ligne)