Fonction R de Riemann

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En théorie analytique des nombres, la fonction R de Riemann, nommée[réf. nécessaire] d'après Bernhard Riemann, est définie pour tout réel x > 0 par[1] :

R ( x ) = ∑ n = 1 + ∞ μ ( n ) n   l i ( x 1 / n ) , {\displaystyle R(x)=\sum _{n=1}^{+\infty }{\frac {\mu (n)}{n}}~{\rm {li}}(x^{1/n}),}

où μ est la fonction de Möbius et li le logarithme intégral. Elle est reliée à la fonction π de compte des nombres premiers par[1] :

π ( x ) = R ( x ) − ∑ ρ R ( x ρ ) ,   {\displaystyle \pi (x)=R(x)-\sum _{\rho }R(x^{\rho }),~}

où ρ parcourt l'ensemble des zéros non triviaux de la fonction zêta de Riemann.

Notes et références

  1. ↑ a et b Voir (en) Eric W. Weisstein, « Riemann Prime Counting Function », sur MathWorld et (en) Paulo Ribenboim, The New Book of Prime Number Records, Springer, 1996, p. 224-225.

Jean-Paul Delahaye, Merveilleux nombres premiers : Voyage au cœur de l'arithmétique, [détail de l’édition]

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