Courbe quartique

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En géométrie, une courbe quartique est une courbe algébrique de degré quatre.

Elle peut être définie par une équation de degré quatre :

A x 4 + B y 4 + C x 3 y + D x 2 y 2 + E x y 3 + F x 3 + G y 3 + H x 2 y + I x y 2 + J x 2 + K y 2 + L x y + M x + N y + P = 0. {\displaystyle Ax^{4}+By^{4}+Cx^{3}y+Dx^{2}y^{2}+Exy^{3}+Fx^{3}+Gy^{3}+Hx^{2}y+Ixy^{2}+Jx^{2}+Ky^{2}+Lxy+Mx+Ny+P=0.}

Cette équation a quinze constantes. Cependant, elle peut être multipliée par une constante non nulle sans changer la courbe. De ce fait, l'espace des courbes quartiques peut être identifié avec l'espace projectif réel R P 14 {\displaystyle \mathbb {RP} ^{14}} . Il en résulte qu'il y a exactement une seule courbe quartique qui passe par un ensemble de quatorze points distincts en position générale, puisqu'une quartique a 14 degrés de liberté.

Une courbe quartique peut avoir un maximum de :

  • quatre composantes connexes,
  • vingt-huit bitangentes (en),
  • trois points doubles ordinaires, à moins qu'elle ne se décompose.

Un exemple de courbe quartique (gauche) est la fenêtre de Viviani.

On distingue plusieurs familles de quartiques en fonction du genre.

  • Si le genre = 0, alors ce sont les quartiques rationnelles
  • Si le genre = 1, alors ce sont les quartiques elliptiques
  • Si le genre = 2, alors ce sont les quartiques du diable
  • Si le genre = 3, alors ce sont les quartiques de genre trois

Exemples

  • Courbe bicorne (en)
  • Ovale de Descartes
  • Ovale de Cassini
  • Courbe deltoïde
  • Lemniscate de Booth (hippopède de Proclus)
  • Lemniscate de Bernoulli
  • Besace et son cas particulier, la Lemniscate de Gerono
  • Spirique de Persée
  • Section torique
  • Kampyle d'Eudoxe (en)
  • Courbe esperluette
    Courbe esperluette
  • Courbe haricot
    Courbe haricot
  • Courbe bicuspide
    Courbe bicuspide
  • Courbe nœud
    Courbe nœud
  • Courbes cruciformes
    Courbes cruciformes
  • Spiriques de Persée
  • Trifolium
    Trifolium
  • Courbe de Trott et quelques-unes des 28 bitangentes.
    Courbe de Trott et quelques-unes des 28 bitangentes.

Liens externes

  • Robert Ferréol, « Quartique », sur Encyclopédie des formes mathématiques remarquables
  • Robert Ferréol, « Quartique bicirculaire », sur Encyclopédie des formes mathématiques remarquables
(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Quartic plane curve » (voir la liste des auteurs).
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